(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh 3 cm, \(M\) là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Đặt biểu thức \(P = M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}\) với giá trị lớn nhất là \(a\) và giá trị nhỏ nhất là \(b\). Khi đó, tính giá trị biểu thức \(T = 4a + 3b\).

Gọi \(O\), \(R\) lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(O\).

Ta có:

\(P = M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}\)

\( = {\overrightarrow {MA} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} - {\overrightarrow {MC} ^2}\)

\( = {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2}\)

\( = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right) - {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2}\)

\( = \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {2\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) - \left( {M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} \cdot \overrightarrow {OC} + O{C^2}} \right)\)

\( = 2\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {MO} + O{A^2} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OA} - O{B^2} - M{O^2} - 2\overrightarrow {MO} \cdot \overrightarrow {OC} - O{C^2}\)

\( = - M{O^2} - 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right) + O{A^2} - O{B^2} - O{C^2}\)

\( = - 2{R^2} + 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OA'} } \right)\)

\( = - 2{R^2} + 2\overrightarrow {MO} \cdot 2\overrightarrow {OA} \)

\( = - 2{R^2} - 4\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {OA} \)

\( = - 2{R^2} - 4{R^2} \cdot \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {OA} } \right)\).

Ta có:

\(b = {P_{\min }} = - 6{R^2} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {OA} } \right) = 1 \Leftrightarrow M \equiv A\)

\(a = {P_{\max }} = 2{R^2} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OA} } \right) = - 1 \Leftrightarrow M \equiv A'\)

\( \Rightarrow T = 4a + 3b = 4 \cdot 2{R^2} + 3 \cdot \left( { - 6{R^2}} \right) = - 10{R^2}\)

Tam giác đều cạnh 3 cm có: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\].

Do đó, \(R = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4{S_{ABC}}}} = \frac{{3 \cdot 3 \cdot 3}}{{4 \cdot \frac{{9 \cdot \sqrt 3 }}{4}}} = \sqrt 3 \).

Vậy \[T = - 10{R^2} = - 10 \cdot {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = - 30\].