(1 điểm) Từ vị trí \(O\)trên một cái tháp, người ta quan sát một cây cao. Biết khoảng cách từ vị trí cái tháp người đó đứng đến cái cây là 20 m, chiều cao của cái tháp là 4 m, góc nhìn từ gốc cây đến ngọn cây là \(\widehat {BOC} = 60^\circ \), góc nhìn nếu đứng ở gốc cây nhìn từ chân tháp đến đỉnh tháp thì góc nhìn là \(\widehat {OBH} = 25^\circ \).  Tính chiều cao của cây.

Gọi \(O\), \(R\) lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(O\).

Ta có:

\(P = M{A^2} - M{B^2} - M{C^2}\)

\( = {\overrightarrow {MA} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} - {\overrightarrow {MC} ^2}\)

\( = {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2}\)

\( = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right) - {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2}\)

\( = \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right)\left( {2\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) - \left( {M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} \cdot \overrightarrow {OC} + O{C^2}} \right)\)

\( = 2\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {MO} + O{A^2} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OA} - O{B^2} - M{O^2} - 2\overrightarrow {MO} \cdot \overrightarrow {OC} - O{C^2}\)

\( = - M{O^2} - 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} } \right) + O{A^2} - O{B^2} - O{C^2}\)

\( = - 2{R^2} + 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OA'} } \right)\)

\( = - 2{R^2} + 2\overrightarrow {MO} \cdot 2\overrightarrow {OA} \)

\( = - 2{R^2} - 4\overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {OA} \)

\( = - 2{R^2} - 4{R^2} \cdot \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {OA} } \right)\).

Ta có:

\(b = {P_{\min }} = - 6{R^2} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\,\overrightarrow {OA} } \right) = 1 \Leftrightarrow M \equiv A\)

\(a = {P_{\max }} = 2{R^2} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OA} } \right) = - 1 \Leftrightarrow M \equiv A'\)

\( \Rightarrow T = 4a + 3b = 4 \cdot 2{R^2} + 3 \cdot \left( { - 6{R^2}} \right) = - 10{R^2}\)

Tam giác đều cạnh 3 cm có: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\].

Do đó, \(R = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4{S_{ABC}}}} = \frac{{3 \cdot 3 \cdot 3}}{{4 \cdot \frac{{9 \cdot \sqrt 3 }}{4}}} = \sqrt 3 \).

Vậy \[T = - 10{R^2} = - 10 \cdot {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = - 30\].

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[\overrightarrow {CO} \] và \[\overrightarrow {DE} \] là hai vectơ có cùng phương, cùng hướng, có độ dài bằng nhau.

Vậy \[\overrightarrow {CO} = \overrightarrow {DE} \].