(1,5 điểm) Hình chóp \[S.ABCD\] có \[O\] là tâm của hình bình hành \[ABCD\], điểm \[M\] thuộc cạnh \[SA\] sao cho \(SM = 2MA,\,\,N\) là trung điểm của \[AD.\]

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MBC} \right)\).

b) Tìm giao điểm \[I\] của \[SB\] và \(\left( {CMN} \right)\); giao điểm \[J\] của \[SA\] và \(\left( {ICD} \right)\).

c) Chứng minh \[ID,{\rm{ }}JC\] và \[SO\] đồng quy tại \[E.\] Tính tỉ số \(\frac{{SE}}{{SO}}\).

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MBC} \right)\\AD{\rm{ // }}BC\\AD \subset \left( {SAD} \right);BC \subset \left( {MBC} \right)\end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {MBC} \right) = Mx{\rm{ // }}AD{\rm{ // }}BC\).

b) Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] gọi \(L = CN \cap AB\).

    Suy ra \[LM\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {CMN} \right)\] và \[\left( {SAB} \right),\] điểm \[I\] cần tìm là giao điểm của \[LM\]và \[SB.\]

    Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {ICD} \right) \cap \left( {SAB} \right)\\CD{\rm{ // }}AB\\CD \subset \left( {ICD} \right);AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow \left( {ICD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = Iy{\rm{ // }}CD{\rm{ // }}AB\)

     Điểm \[J\] cần tìm là giao điểm của \[Iy\] với \[SD.\]

c) Ta có \(SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Trong mặt phẳng \[\left( {ICD} \right),\] gọi \(E = JC \cap ID\) có

    \(\left\{ \begin{array}{l}E \in JC \subset \left( {SAC} \right)\\E \in ID \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\), hay \[E\] thuộc \[SO.\]

    Lại có \[AN\] là đường trung bình của tam giác \[LBC,\] nên \[A\] trung điểm của \[LB.\]

    • Trong tam giác \[SBL\] có \[SA\] là đường trung tuyến và \(SM = \frac{2}{3}SA\) nên \(M\) là trọng tâm của tam giác \[SBL\]. Nên \[I\] trung điểm của \[SB.\]

    • Trong tam giác \[SBD\] có \[E\] là trọng tâm của tam giác. Do đó \(\frac{{SE}}{{SO}} = \frac{2}{3}\).