Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục là mét), coi mặt biển là một phần của mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Một ngọn hải đăng cao \[60{\rm{ m}}\] so với mực nước biển được đặt ở vị trí \[I\left( {30;55;60} \right)\] có bán kính phủ sáng là \(5\) km.

a) Vùng phủ sáng của ngọn hải đăng là khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình là \({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 55} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {5000^2}\) .

b) Nếu người đi biển ở vị trí \(A\left( {7500;6500;0} \right)\) thì người đó ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng.

c) Nếu ngọn hải đăng phủ sáng một vùng trên mặt biển thì diện tích vùng sáng này không vượt quá \[80\] triệu mét vuông.

d) Nếu hai người đi biển ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không vượt quá \[10\] km.

Gọi \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Góc tạo bởi \(MA\) với mặt vườn và góc tạo bởi \(MB\) với mặt vườn phải luôn bằng nhau.

Nên ta có \( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AA'}}{{BB'}} = \frac{{d\left( {A,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( P \right)} \right)}}\).

Mà \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 40 + 2 \cdot \left( { - 40} \right) - 12 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 8\); \[d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 40} \right) + 2 \cdot 50 - 38 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 10\].

\( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5MA = 4MB\). Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\). Khi đó, ta được:

\(25 \cdot \left[ {{{\left( {x - 40} \right)}^2} + {{\left( {y + 40} \right)}^2} + {{\left( {z - 12} \right)}^2}} \right] = 16 \cdot \left[ {{{\left( {x + 40} \right)}^2} + {{\left( {y - 50} \right)}^2} + {{\left( {z - 38} \right)}^2}} \right]\).

Rút gọn ta được phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) chứa các điểm \(M\) thoả mãn yêu cầu kĩ thuật:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{{3280}}{9}x + 400y + \frac{{616}}{9}z - \frac{{5104}}{9} = 0\).

Đồng thời, vì điểm \(M\) nằm trên mặt vườn nên \(M \in \left( P \right):\;{\mkern 1mu} 2x + 2y - z - 12 = 0\).

Như vậy, tập hợp điểm \(M\) cần tìm là giao tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), tức là một đường tròn \(\left( C \right)\).

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\), ta được: \(I\left( {\frac{{1640}}{9}; - 200; - \frac{{308}}{9}} \right)\).

Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\):

\(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( {\frac{{1640}}{9}} \right)}^2} + {{\left( { - 200} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 308}}{9}} \right)}^2} + \frac{{5104}}{9}} = \sqrt {\frac{{6070400}}{{81}}} \).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(d = \frac{{\left| {2 \cdot \frac{{1640}}{9} + 2 \cdot \left( { - 200} \right) + \frac{{308}}{9} - 12} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{40}}{9}\).

Bán kính đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\): \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {\frac{{6068800}}{{81}}} \).

Vậy độ dài đường ray là chu vi đường tròn \(\left( C \right)\): \(l = 2\pi r \approx 1720\;{\rm{(m)}}\).

Đáp án: 1720.

Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của \(A,\,B\) lần lượt là \(A\left( {3;\,2,5;\,15} \right)\) và\(B\left( {21;\,27,5;\,10} \right)\).

Đường thẳng \(AB\)đi qua \(A\left( {3;\,2,5;\,15} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {18;\,25; - \,5} \right)\) là vectơ chỉ phương nên có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 18t\\y = 2,5 + 25t\\z = 15 - 5t\end{array} \right.\).

Khi du khách ở độ cao \(12\,{\rm{m}}\) thì \(z = 12 \Rightarrow 15 - 5t = 12 \Leftrightarrow t = \frac{3}{5}\). Do đó \(x = 13,8;\,\,y = 17,5\).

Vậy tọa độ của du khách lúc đó là \(M\left( {13,8;\,17,5;\,12} \right) \Rightarrow a + b + c = 43,3\).

Đáp án: 43,3.