Một nhà máy sản xuất và bán \[x\] sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất \[x\] sản phẩm được cho bởi công thức \[C = 10000 + 600{\rm{x}} - 0,6{{\rm{x}}^2} + 0,004{{\rm{x}}^3}\] (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi sản phẩm là \[p = 1800 - 6{\rm{x}}\] (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

a) Sai       b) Đúng      c) Sai               d) Sai

a) Từ: \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) \( \Rightarrow \overrightarrow u  = (1\,; - 1\,;2)\).

b) Mặt cầu tâm \(A(0;1;3)\), bán kính \(R = 5\) có phương trình là \({x^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 25\).

c) Phương trình tham số của \(\)\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - t\\z = 2t\end{array} \right.\)

\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\)lên \(d\)  \( \Rightarrow H \in d \Rightarrow H(t + 1\,; - t\,;2t)\).

Khi đó: \(\overrightarrow {AH}  = (t + 1\,; - t - 1\,;2t - 3)\)

\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\)lên \(d\) \(\)

\(\)\( \Leftrightarrow AH \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AH}  \bot \vec u\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\vec u = 0\\ \Leftrightarrow 6t - 4 = 0\\ \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\end{array}\)

\( \Rightarrow H(\frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{4}{3})\) 

d) Đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu tại \(2\) điểm phân biệt \(M,N\). Tọa độ của \(M,N\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - t\\z = 2t\\{x^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 3)^2} = 25\end{array} \right.\)

Giải hpt ta được \(\left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = \frac{7}{3}\end{array} \right.\)\(\)\( \Rightarrow M(0\,;1\,; - 2),N(\frac{{10}}{3}; - \frac{7}{3}\,;\frac{{14}}{3})\)

Khi đó: \(MN = \frac{{20}}{3} \approx 6.67\)

Vậy: Đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là: \(6,67km\)