Sau khi một bệnh nhân uống một liều thuốc, nồng độ của thuốc trong máu người đó được mô hình hóa bởi hàm số \(C\left( t \right) = \frac{{120t}}{{{t^2} + 36}}\) (đơn vị: \({\rm{mg/L}}\)), trong đó \(t\) là thời gian sau khi uống thuốc (đơn vị: giờ) và \(t \ge 0\). Tìm nồng độ thuốc tối đa (đơn vị: \({\rm{mg/L}}\)) trong máu của bệnh nhân.

Gọi \(x,y\) lần lượt là số kg cần thiết để sản xuất một bao sản phẩm thức ăn hỗn hợp, \(x,y \ge 0\).

Ta có hệ điều kiện

\(\left\{ \begin{array}{l}0,1.x + 0,4.y \ge 20\\0,6.x + 0,3.y \ge 46,5\\x + y \le 100\end{array} \right.\)

Hàm mục tiêu \(T = 5x + 9y\).

\(\begin{array}{l}\left( {{d_1}} \right):0,1.x + 0,4.y = 20\\\left( {{d_2}} \right):0,6.x + 0,3.y = 46,5\\\left( {{d_3}} \right):x + y = 100\end{array}\)

Các giao điểm \(A\left( {60;35} \right),B\left( {\frac{{20}}{3};\frac{{100}}{3}} \right),C\left( {55;45} \right)\)

Gía trị hàm mục tiêu tại các đỉnh \(T\left( A \right) = 615;T\left( B \right) = \frac{{1900}}{3},T\left( C \right) = 680\). Vậy chi phí thấp nhất là 615(nghìn đồng)

Đáp án: 63.

Xét điểm \[{\rm{K}}\]:

\[2M{A^2} + M{B^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MK} + \overrightarrow {KB} } \right)^2} = 3M{K^2} + 2K{A^2} + K{B^2} + \overrightarrow {MK} .\left( {2\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} } \right)\]

Chọn điểm \[{\rm{K}}\] thoả mãn \[2\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 \] , gọi \[{\rm{K}}\left( {{\rm{x;y;z}}} \right)\]. Khi đó

\[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {2 - x} \right) + \left( { - 1 - x} \right) = 0\\2\left( {0 - y} \right) + \left( { - 6 - y} \right) = 0\\2\left( {1 - z} \right) + \left( {7 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {1; - 2;3} \right)\]

Khi đó\[2M{A^2} + M{B^2} = 3M{K^2} + 2K{A^2} + K{B^2}\] nhỏ nhất khi \[{\rm{M}}\] là hình chiếu của \[{\rm{K}}\] trên mặt phẳng \[\left( P \right)\]. \[{\rm{MK = d}}\left( {{\rm{K,}}\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 \].,\[{\rm{M}}{{\rm{K}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 3, K}}{{\rm{A}}^{\rm{2}}} = 9,{\rm{K}}{{\rm{B}}^{\rm{2}}} = 36.\] Suy ra giá trị nhỏ nhất cần tìm là \[{\rm{63}}\].