Một công ty sau khi ra mắt sản phẩm mới đã ghi nhận lợi nhuận \(P\left( t \right)\) (đơn vị: tỷ đồng) sau \(t\) tháng kinh doanh. Trong năm đầu tiên, giả sử mối liên hệ giữa lợi nhuận và thời gian kinh doanh được mô hình hóa bởi hàm số:

\(P\left( t \right) = - {t^3} + 12{t^2} + 60t - 50\), \(0 \le t \le 12\).

Một nhà máy sản xuất và bán \[x\] sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất \[x\] sản phẩm được cho bởi công thức \[C = 10000 + 600{\rm{x}} - 0,6{{\rm{x}}^2} + 0,004{{\rm{x}}^3}\] (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi sản phẩm là \[p = 1800 - 6{\rm{x}}\] (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Trong không gian \[Oxyz,\] cho điểm \(A(1;1; - 1)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\) Gọi \[H(a;b;c)\] là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(d.\) Tính tổng \(a + b + c.\)

Trong không gian \[{\rm{Oxyz}}\] , cho hai điểm \[{\rm{A}}\left( {{\rm{2;0; - 1}}} \right)\], \[B\left( {{\rm{ - 1; - 6;7}}} \right)\] và mặt phẳng\[\left( P \right):x - y + z - 3 = 0\]. Xét điểm \[{\rm{M}}\] thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của \[2M{A^2} + M{B^2}\].

Một công ty thực phẩm muốn tạo ra một loại thức ăn hỗn hợp cho vật nuôi từ hai nguyên liệu chính là ngô và đậu nành. Biết rằng 1 kg ngô có \(0,1{\rm{\;kg}}\) protein và \(0,6{\rm{\;kg}}\) carbohydrate, 1 kg đậu nành có \(0,4{\rm{\;kg}}\) protein và \(0,3{\rm{\;kg}}\) carbohydrate. Công ty cần sản xuất một bao thức ăn hỗn hợp sao cho tổng khối lượng ngô và đậu lành không vượt quá 100 kg và phải đảm bảo chứa ít nhất 20 kg protein và ít nhất \(46,5{\rm{\;kg}}\) carbohydrate. Giá thành mỗi kg ngô là 5 nghìn đồng và mỗi kg đậu nành là 9 nghìn đồng. Hỏi chi phí sản xuất một bao thức ăn của công ty thấp nhất là bao nhiêu nghìn đồng?

Sau khi một bệnh nhân uống một liều thuốc, nồng độ của thuốc trong máu người đó được mô hình hóa bởi hàm số \(C\left( t \right) = \frac{{120t}}{{{t^2} + 36}}\) (đơn vị: \({\rm{mg/L}}\)), trong đó \(t\) là thời gian sau khi uống thuốc (đơn vị: giờ) và \(t \ge 0\). Tìm nồng độ thuốc tối đa (đơn vị: \({\rm{mg/L}}\)) trong máu của bệnh nhân.

Cường độ một trận động đất \(M\) độ Richter được cho bởi công thức \(M = {\rm{log}}A - {\rm{log}}{A_0}\) với \(A\) là biên độ rung chấn tối đa và \({A_0}\) là một biên độ chuẩn (hằng số). Ngày \(11/3/2011\) một trận siêu động đất xảy ra tại vùng Tohoku, Nhật Bản có cường độ 9,1 độ Richter. Trước đó, vào ngày \(21/5/2003\) trận động đất khác ở phía Bắc Algeria có cường độ 6,8 độ Richter. Hỏi biên độ rung chấn tối đa của trận động đất ở vùng Tohoku, Nhật Bản gấp bao nhiêu lần biên độ rung chấn tối đa của trận động đất ở phía Bắc Algeria? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Nghiệm của phương trình \[{2^{x + 1}} = 16\]