Để đo chiều cao của một cột đèn ta làm như sau: Đặt tấm gương phẳng nằm trên mặt phẳng nằm ngang, mắt của người quan sát nhìn thẳng vào gương, người quan sát di chuyển sao cho thấy được đỉnh ngọn đèn trong tấm gương và \(\widehat {ABC} = \widehat {A'BC'}.\) Cho chiều cao tính từ mắt của người quan sát đến mặt đất là \(AC = 1,5\;\,{\rm{m;}}\) khoảng cách từ gương đến chân người là \(BC = 0,75\;\,{\rm{m;}}\) khoảng cách từ gương đến chân cột đèn là \(BC' = 1,4\;{\rm{m}}{\rm{.}}\) Hỏi chiều cao của cột đèn là bao nhiêu mét? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án: \(90\)

\(\Delta MNA\) và \(\Delta ABH\) có: \(\widehat N = \widehat {ABH} = 90^\circ ;\;\,\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AH}}\;\,\left( { = \frac{3}{2}} \right).\) Suy ra: \(\Delta MNA \sim \Delta ABH\) (c.g.c).

Do đó, \(\widehat M = \widehat {BAH}.\)

Lại có: \(\widehat M + \widehat {MAN} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BAH} + \widehat {MAN} = 90^\circ .\) Vậy \(\widehat {MAH} = 90^\circ .\)

a) Đúng.

Vì \(M,\;\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,\;\,AC\) nên \(HM \bot AB;\;\,HN \bot AC.\)

Do đó, \(\widehat {AMH} = \widehat {HMB} = \widehat {ANH} = \widehat {HNC} = 90^\circ .\)

Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(AH \bot BC.\) Suy ra \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ .\)

\(\Delta AHM\) và \(\Delta ABH\) có: \(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ ;\;\,\widehat {HAM}\) chung nên \(\Delta AHM \sim \Delta ABH\) (g.g).

b) Đúng.

\(\Delta AHN\) và \(\Delta ACH\) có: \(\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = 90^\circ ;\;\,\widehat {HAN}\) chung nên \(\Delta AHN \sim \Delta ACH\) (g.g).

Do đó, \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AH}}.\) Suy ra \(A{H^2} = AN \cdot AC.\)

c) Sai.

Theo a) ta có: \(\Delta AHM \sim \Delta ABH\)  (g.g) nên \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}.\) Suy ra \(AM \cdot AB = A{H^2}.\)

Mà \(A{H^2} = AN \cdot AC\) nên \(AM \cdot AB = AN \cdot AC.\)

d) Đúng.

Vì \(AM \cdot AB = AN \cdot AC\) nên \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}.\)

\(\Delta ANM\) và \(\Delta ABC\) có: \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}};\;\,\widehat {NAM} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) chung nên \(\Delta ANM \sim \Delta ABC\)(c.g.c).