Tính độ dài cạnh \(BC\) trong tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) dưới đây. (Đơn vị: cm, kết quả viết dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án đúng là: A

Ta có:

⦁ \({9^2} + {12^2} = 225 = {15^2},\) do đó bộ ba độ dài \[9{\rm{\;cm}},{\rm{ }}12{\rm{\;cm}},{\rm{ }}15{\rm{\;cm}}\] là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

⦁ \({7^2} + {8^2} = 113 \ne {10^2},\) do đó bộ ba độ dài \[7{\rm{\;cm}},{\rm{ }}8{\rm{\;cm}},{\rm{ }}10{\rm{\;cm}}\] không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

⦁ \({6^2} + {7^2} = 85 \ne {9^2},\) do đó bộ ba độ dài \[6{\rm{\;dm}},{\rm{ }}7{\rm{\;dm}},{\rm{ }}9{\rm{\;dm}}\] không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

⦁ \({10^2} + {13^2} = 269 \ne {15^2},\) do đó bộ ba độ dài \[10{\rm{\;m}},{\rm{ }}13{\rm{\;m}},{\rm{ }}15{\rm{\;m}}\] không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Vậy ta chọn phương án A.

a) Đúng.

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\) (gt) và \(\widehat {BAD} = \widehat {CAB}\) (góc chung)

Suy ra \(\Delta ABD \sim \Delta ACB\) (g.g)

b) Đúng.

Do \(\Delta ABD \sim \Delta ACB\) (g.g) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng)

c) Sai.

Do \(\Delta ABD \sim \Delta ACB\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) hay \(AD = \frac{{A{B^2}}}{{AC}} = \frac{{{2^2}}}{4} = 1{\rm{ cm}}\).

Lại có: \(DC + AD = AC\) nên \(DC = AC - AD = 4 - 1 = 3{\rm{ cm}}\).

d) Đúng.

Ta có: \(\widehat {ADB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB}\) (tính chất góc ngoài tam giác)

\(\widehat {ABH} = \widehat {ABD} + \widehat {DBC}\).

Mà từ giả thiết có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ABH}\).

Xét \(\Delta EDA\) và \(\Delta HBA\), có: \(\widehat {AED} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (gt) và \(\widehat {ADE} = \widehat {ABH}\) (cmt)

Suy ra \(\Delta HBA \sim \Delta EDA\) (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{EA}} = \frac{{BH}}{{AC}} = \frac{2}{1} = 2\).

Do đó, \(\frac{{{S_{ABH}}}}{{{S_{ADE}}}} = \frac{{AH}}{{EA}}.\frac{{BH}}{{AC}} = 2.2 = 4\) hay \({S_{ABH}} = 4{S_{ADE}}\).