Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 2{\rm{ cm,}}\) \(AC = 4{\rm{ cm}}\). Qua \(B\) dựng đường thẳng cắt \(AC\) tại \(D\) sao cho \(\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\). Gọi \(AH\) là đường cao \(\Delta ABC\), \(AE\) là đường cao của \(\Delta ABD\).

a) Đúng.

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\) (gt) và \(\widehat {BAD} = \widehat {CAB}\) (góc chung)

Suy ra \(\Delta ABD \sim \Delta ACB\) (g.g)

b) Đúng.

Do \(\Delta ABD \sim \Delta ACB\) (g.g) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng)

c) Sai.

Do \(\Delta ABD \sim \Delta ACB\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) hay \(AD = \frac{{A{B^2}}}{{AC}} = \frac{{{2^2}}}{4} = 1{\rm{ cm}}\).

Lại có: \(DC + AD = AC\) nên \(DC = AC - AD = 4 - 1 = 3{\rm{ cm}}\).

d) Đúng.

Ta có: \(\widehat {ADB} = \widehat {DBC} + \widehat {DCB}\) (tính chất góc ngoài tam giác)

\(\widehat {ABH} = \widehat {ABD} + \widehat {DBC}\).

Mà từ giả thiết có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ABH}\).

Xét \(\Delta EDA\) và \(\Delta HBA\), có: \(\widehat {AED} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (gt) và \(\widehat {ADE} = \widehat {ABH}\) (cmt)

Suy ra \(\Delta HBA \sim \Delta EDA\) (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{EA}} = \frac{{BH}}{{AC}} = \frac{2}{1} = 2\).

Do đó, \(\frac{{{S_{ABH}}}}{{{S_{ADE}}}} = \frac{{AH}}{{EA}}.\frac{{BH}}{{AC}} = 2.2 = 4\) hay \({S_{ABH}} = 4{S_{ADE}}\).