Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 12\;\,{\rm{cm; }}AC = 18\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Lấy các điểm \(M,\;N\) lần lượt trên các cạnh \(AB,\;\,AC\) sao cho \(AM = 8\;\,{\rm{cm; }}AN = 12\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Lấy điểm \(P\) trên cạnh \(AC\) sao cho \(AP = 8\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(30\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{\widehat A}}{1} = \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{\widehat C}}{3} = \frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{{1 + 2 + 3}} = \frac{{180^\circ }}{6} = 30^\circ .\)

Suy ra: \(\widehat A = 30^\circ \cdot 1 = 30^\circ .\)

Vì $∆ABC ~∆MNP$nên \(\widehat M = \widehat A = 30^\circ .\) Vậy \(\widehat M = 30^\circ .\)

a) Đúng.

Vì \(\widehat C = \widehat {ANM},\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(MN\;{\rm{//}}\;BC.\)

b) Sai.

Vì \(MN\;{\rm{//}}\;BC\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\) nên

c) Đúng.

Vì $∆AMN ~∆ABC$ nên \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{5}{{5 + 3}} = \frac{5}{8}.\) Vậy \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{5}{8}.\)

d) Sai.

Ta có: \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN + AM + AN}}{{AB + AC + BC}} = \frac{5}{8}.\)

Vì chu vi \(\Delta ABC\) bằng \(40\;\,{\rm{cm}}\) nên \(AB + AC + BC = 40\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Do đó, \(\frac{{MN + AM + AN}}{{40}} = \frac{5}{8},\) suy ra \(MN + AM + AN = 25\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy chu vi \(\Delta MNP\) bằng \(25\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)