Cho $∆ABC ~∆MNP$ và \(\frac{{\widehat A}}{1} = \frac{{\widehat B}}{2} = \frac{{\widehat C}}{3}.\) Tính số đo góc \(M\) của \(\Delta MNP.\)

Đáp án: \(4\)

Vì \(AB = 2HI\) nên \(\frac{{AB}}{{HI}} = 2.\)

Vì $∆ABC ~∆HIK$nên \(\frac{{AC}}{{HK}} = \frac{{AB}}{{HI}} = 2;\;\,\widehat H = \widehat A = 90^\circ .\)

Diện tích \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC.\)

Diện tích \(\Delta HIK\) vuông tại \(H\) là: \({S_{HIK}} = \frac{1}{2}HI \cdot HK.\)

Do đó: \(\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{HIK}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AB \cdot AC}}{{\frac{1}{2}HI \cdot HK}} = \frac{{AB}}{{HI}} \cdot \frac{{AC}}{{HK}} = 2 \cdot 2 = 4.\)

Vậy diện tích \(\Delta ABC\) gấp 4 lần diện tích  \(\Delta HIK.\)

a) Đúng.

Vì \(\widehat C = \widehat {ANM},\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(MN\;{\rm{//}}\;BC.\)

b) Sai.

Vì \(MN\;{\rm{//}}\;BC\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\) nên

c) Đúng.

Vì $∆AMN ~∆ABC$ nên \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{5}{{5 + 3}} = \frac{5}{8}.\) Vậy \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{5}{8}.\)

d) Sai.

Ta có: \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN + AM + AN}}{{AB + AC + BC}} = \frac{5}{8}.\)

Vì chu vi \(\Delta ABC\) bằng \(40\;\,{\rm{cm}}\) nên \(AB + AC + BC = 40\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Do đó, \(\frac{{MN + AM + AN}}{{40}} = \frac{5}{8},\) suy ra \(MN + AM + AN = 25\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy chu vi \(\Delta MNP\) bằng \(25\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)