Cho biểu thức \(A = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\).

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A.\)

b) Rút gọn biểu thức \(A\).

c) Tính giá trị của biểu thức \(A\) biết \(x\) thỏa mãn \(\left( {x - 2024} \right)\left( {x + 1} \right) = 0.\)

\(A = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\).

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là: \(x \ne 0,\,\,x + 1 \ne 0,\,\,x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne 0,\,\,x \ne  - 1,\,\,x \ne  - 2.\)

b) Với \(x \ne 0,\,\,x \ne  - 1,\,\,x \ne  - 2\) ta có:

\(A = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right) + x + \left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{3x + 3}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{3}{{x\left( {x + 2} \right)}}\).

Vậy với \(x \ne 0,\,\,x \ne  - 1,\,\,x \ne  - 2\) thì \(A = \frac{3}{{x\left( {x + 2} \right)}}.\)

c) Ta có: \(\left( {x - 2024} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)

Suy ra \(x - 2024 = 0\) (do \(x + 1 \ne 0)\)

Do đó \(x = 2024\) (thỏa mãn điều kiện)

Thay \(x = 2024\) vào biểu thức \(A\) ta được: \(A = \frac{3}{{2024 \cdot \left( {2024 + 2} \right)}} = \frac{3}{{2024 \cdot 2026}} = \frac{3}{{4\,\,100\,\,624}}.\)