Một chiếc lều ở một trại hè của học sinh tham gia cắm trại có dạng hình chóp tứ giác đều theo các kích thước như hình vẽ bên.

a) Thể tích không khí bên trong lều là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)?

b) Xác định số vải bạt cần thiết để dựng lều (không tính đến đường viền, nếp gấp, ...) là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)? Biết độ dài trung đoạn của lều trại là \[2,24\] cm.

 

\(A = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\).

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là: \(x \ne 0,\,\,x + 1 \ne 0,\,\,x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne 0,\,\,x \ne  - 1,\,\,x \ne  - 2.\)

b) Với \(x \ne 0,\,\,x \ne  - 1,\,\,x \ne  - 2\) ta có:

\(A = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right) + x + \left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{3x + 3}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{3}{{x\left( {x + 2} \right)}}\).

Vậy với \(x \ne 0,\,\,x \ne  - 1,\,\,x \ne  - 2\) thì \(A = \frac{3}{{x\left( {x + 2} \right)}}.\)

c) Ta có: \(\left( {x - 2024} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)

Suy ra \(x - 2024 = 0\) (do \(x + 1 \ne 0)\)

Do đó \(x = 2024\) (thỏa mãn điều kiện)

Thay \(x = 2024\) vào biểu thức \(A\) ta được: \(A = \frac{3}{{2024 \cdot \left( {2024 + 2} \right)}} = \frac{3}{{2024 \cdot 2026}} = \frac{3}{{4\,\,100\,\,624}}.\)

Ta có: \[{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\]

\[ = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} - 3abc\]

\[ = {\left( {a + b} \right)^3} + {c^3} - 3ab\left( {a + b} \right) - 3abc\]

\[ = {\left( {a + b} \right)^3} + {c^3} - 3ab\left( {a + b + c} \right)\]

\[ = \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right)c + {c^2}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)\]

\[ = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2} - ca - bc + {c^2} - 3ab} \right)\]

\[ = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)\]

Mà theo bài, \[{a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\] nên \[{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\]

Do đó \[\left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\]

Mặt khác \(2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right) = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca\)

\( = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2}\)

Do đó \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0\] với mọi \(a,b,c \in \mathbb{R}\)

Nên để \[\left( * \right)\] xảy ra thì \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array} \right.\], hay \[\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right.\] tức \(a = b = c\).

⦁ Trường hợp 1: \[a + b + c = 0\]

Suy ra \(a + b =  - c;\,\,b + c =  - a &  & ;\,\,c + a =  - b\)

Khi đó \(A = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 + \frac{b}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{a}} \right) = \frac{{a + b}}{b}.\frac{{b + c}}{c}.\frac{{c + a}}{a} = \frac{{ - c}}{b}.\frac{{ - a}}{c}.\frac{{ - b}}{a} =  - 1.\)

⦁ Trường hợp 2: \(a = b = c\) thì ta được \(A = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 + \frac{b}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{a}} \right) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\).