Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),n \in {\mathbb{N}^*}\), thỏa mãn điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = - \frac{{{u_n}}}{5}\end{array} \right.\). Gọi \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Tính \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n}\].

Có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{ - \frac{{{u_n}}}{5}}}{{{u_n}}} = - \frac{1}{5}\).

Do đó dãy số \(\left( {{u_n}} \right),n \in \mathbb{N}*\) là một cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 3;q = - \frac{1}{5}\).

Số hạng tổng quát \({u_n} = 3.{\left( { - \frac{1}{5}} \right)^{n - 1}}\).

Do đó \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = 3.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{1}{5}} \right)}^n}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{5}} \right)}}\)

Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {3.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{1}{5}} \right)}^n}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{5}} \right)}}} \right]\]\[ = \frac{3}{{1 - \left( { - \frac{1}{5}} \right)}} = \frac{5}{2}\] (Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} = 0\)).