Điền phân thức thích hợp vào chỗ trống: \(\frac{{2x - 6}}{{x + 3}} -  \cdots  = \frac{{x + 1}}{2}\).

a) Với \(x \ne 0\,;\,\,x \ne 1\), ta có:

\(P = \frac{2}{{{x^2} - x}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{4x}}{{1 - {x^3}}}\)

\( = \frac{2}{{x\left( {x - 1} \right)}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{4x}}{{{x^3} - 1}}\)

\( = \frac{2}{{x\left( {x - 1} \right)}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{4{x^2}}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) - 4{x^2}}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2{x^2} + 2x + 2 + 2{x^2} - 2x - 4{x^2}}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{{x({x^3} - 1)}}\).

b) Với \(x = 2\) (TMĐK), thay vào biểu thức \(P\), ta được:

\(\frac{2}{{2\left( {{2^3} - 1} \right)}} = \frac{2}{{2\,.\,7}} = \frac{1}{7}\).

Vậy tại \(x = 2\) thì giá trị của biểu thức \(P\) bằng \(\frac{1}{7}\).

a) Đường cao mặt bên hình chóp chính là trung đoạn \[d = 67,5{\rm{ mm}}.\]

Diện tích xung quanh của khối rubik đó là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2}\,.\,C\,.\,d = \frac{1}{2}\,.\,234\,.\,67,5 = 7\,\,897,5\,\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Đáy là tam giác đều có cạnh là: \[234:3 = 78{\rm{ (cm)}}\]

Chiều cao của tam giác đáy là \[67,5\,\,{\rm{cm}}.\]

Diện tích toàn phần của khối rubik đó là:

\({S_{tp}} = 7\,\,897,5 + \frac{1}{2}78\,.\,67,5 = 10\,\,530\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Vậy diện tích toàn phần của khối rubik đó là \(10\,\,530\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)

b) Thể tích của khối rubik đó là:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}\,.\,78\,.\,67,5} \right)\,.\,63,7 = 55\,\,896,75\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\]

Vậy thể tích của khối rubik đó là \[55\,\,896,75\,\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.\]