Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thành ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm, 43 cm, 41 cm,…, 31 cm.

Xác định số bậc của chiếc thang đó.

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + {u_2} = 36\\{u_6} - {u_4} = 48\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^4} + {u_1}q = 36\\{u_1}{q^5} - {u_1}{q^3} = 48\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q\left( {{q^3} + 1} \right) = 36\\{u_1}{q^3}\left( {{q^2} - 1} \right) = 48\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q\left( {q + 1} \right)\left( {{q^2} - q + 1} \right) = 36\\{u_1}{q^3}\left( {q - 1} \right)\left( {q + 1} \right) = 48\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q\left( {q + 1} \right)\left( {{q^2} - q + 1} \right) = 36\\\frac{{36{q^2}\left( {q - 1} \right)}}{{{q^2} - q + 1}} = 48\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q\left( {q + 1} \right)\left( {{q^2} - q + 1} \right) = 36\\3{q^2}\left( {q - 1} \right) = 4\left( {{q^2} - q + 1} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q\left( {q + 1} \right)\left( {{q^2} - q + 1} \right) = 36\\3{q^3} - 7{q^2} + 4q - 4 = 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} \cdot 2\left( {2 + 1} \right)\left( {{2^2} - 2 + 1} \right) = 36\\q = 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = 2\end{array} \right.\].

Vậy \({u_1} + 2024q = 2 + 2024 \cdot 2 = 4050\).

Trả lời: 4050.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} =  - 3\\{u_8} =  - 23\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d =  - 3\\{u_1} + 7d =  - 23\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d =  - 4\end{array} \right.\).

Khi đó \({S_{16}} = \frac{{16}}{2}\left( {2{u_1} + 15d} \right) = 8\left[ {2 \cdot 5 - 15 \cdot \left( { - 4} \right)} \right] = 560\).

Trả lời: 560.