Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi hai điểm \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,AC\). Đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng nào sau đây?

a)

Vì \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(AB\) nên \(MN\) là đường trung bình của hình thang \(ABB'A'\). Suy ra \(MN\,{\rm{//}}\,AA'\) và \(MN\, = \,AA'\) (do \(ABB'A'\) là hình bình hành).

Ta có \[MN{\rm{ // }}AA',\,AA'{\rm{ // }}CC' \Rightarrow MN{\rm{ // }}CC'\].

Lại có \(AA' = CC'\) (tính chất hình lăng trụ), mà \(MN\, = \,AA'\) nên \[MN = CC'\].

Do đó, tứ giác \[MNCC'\] là hình bình hành. Suy ra \[CN{\rm{ // }}MC'.\]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}CN{\rm{ // }}MC'\\MC' \subset \left( {AMC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CN{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right).\]

Mặt khác ta chứng minh được \[AN{\rm{ // }}B'M,AN = B'M\] nên tứ giác \[ANB'M\] là hình bình hành. Suy ra \[NB'{\rm{ // }}MA.\]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}NB'{\rm{ // }}MA\\MA \subset \left( {AMC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NB'{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right).\]

Lại có \[\left\{ \begin{array}{l}CN{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right)\\NB'{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right)\\CN,NB' \subset \left( {CNB'} \right)\\CN \cap NB' = \left\{ N \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AMC'} \right){\rm{ // }}\left( {CNB'} \right).\]

Mà \[CB' \subset \left( {CNB'} \right).\,\,\,{\rm{Suy}}\,\,{\rm{ra}}\,\,\,CB'\,\,{\rm{//}}\,\left( {AMC'} \right)\]. 

b)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(N\) song song với \(AB'\), cắt \(BB'\) tại \(E\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\), kẻ đường thẳng qua \(N\) song song với \(AC'\), cắt \(BC'\) tại \(Q\).

Khi đó, mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( {NQE} \right)\).

Vì \(E \in BB'\) nên \(E \in \left( {BB'C'} \right)\); vì \(Q \in BC'\) nên \(Q \in \left( {BB'C'} \right)\). Do đó, \(EQ \subset \left( {BB'C'} \right)\).

Vậy \[\left( {NQE} \right) \cap \left( {BB'C'} \right)\,\, = \,\,EQ\] hay \[\left( P \right) \cap \left( {BB'C'} \right)\,\, = \,\,EQ\].