Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,SB\) và \(P\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\).

a) Chứng minh đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \(\left( {SCD} \right).\)

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Vì \(I,J\) lần lượt là trung điểm \(SA,SB\) nên \[IJ\] là đường trung bình của tam giác \(SAB\), do đó \(IJ\,{\rm{//}}\,AB\).

Tương tự, \(EF\) cũng là đường trung bình của tam giác \(SCD\) nên \[EF\,{\rm{//}}\,CD\].

Mà \[CD\,{\rm{// }}AB\] (đáy \(ABCD\) là hình bình hành).

Do đó, bốn đường thẳng \(AB,\,CD,\,EF,\,IJ\) đôi một song song với nhau.

Vậy đường thẳng \[IJ\] không song song với đường thẳng \[AD.\]

1.

a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n \left( {n + 1 - n} \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt n \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1}} = \frac{1}{2}\]. (0,5 điểm)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{6}} \frac{{2\tan x + 1}}{{\sin x + 1}} = \frac{{2\tan \frac{\pi }{6} + 1}}{{\sin \frac{\pi }{6} + 1}} = \frac{{4\sqrt 3 + 6}}{9}\). 

2.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Với \(x \ne 1\) ta có \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 8x + m}}{{x - 1}} = {x^2} + x + 9 + \frac{{m + 9}}{{x - 1}}\).

\(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) khi và chỉ khi $li{m}_{x\to 1}f\left(x\right) = f\left(1\right) \left(1\right)$

Nếu \(m + 9 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 9\) thì không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\).

Do đó \(m + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow m = - 9\). Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 9} \right) = 11\).

Vậy \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow n = 11\), suy ra \(P = m + n = - 9 + 11 = 2\).