(3,0 điểm)

1) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A,\) đường trung tuyến \(AH.\) Gọi \(I\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AB.\) Gọi \(E\) là điểm sao cho \(I\) là trung điểm của \(HE.\)

a) Giải thích tại sao tứ giác \(AKHI\) là hình thoi.

b) Chứng minh rằng \(AHCE\) là hình chữ nhật. Tam giác \(ABC\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \(AHCE\) là hình vuông?

2) Vì kèo mái tôn là một trong những bộ phận không thể thiếu trong cấu tạo mái nhà lợp tôn. Nó giúp chống đỡ và giảm trọng lực của những ảnh hưởng từ các yếu tố bên ngoài tác động vào (Hình a).

 

Một vì kèo mái tôn được vẽ lại như Hình b. Tính độ dài \(x\) của cây chống đứng bên và độ dài \(y\) của cánh kèo.

Hướng dẫn giải

1)

a) Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AH\) là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao của tam giác.

Do đó \(AH \bot BC\) nên \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) đều vuông tại \(H.\)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) có \(HK\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AB\) nên \(KH = \frac{1}{2}AB\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).

Tương tự, xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) ta có \(IH = \frac{1}{2}AC.\)

Mà \(I,\) \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AB\) nên \(KA = KB = \frac{1}{2}AB;\) \(IA = IC = \frac{1}{2}AC.\)

Lại có \(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A)\)

Do đó \(KA = KH = IA = IH.\)

Xét tứ giác \(AKHI\) có \(KA = KH = IA = IH\) nên là hình thoi.

b) Xét tứ giác \(AHCE\) có \(I\) là trung điểm của hai đường chéo \(AC,HE\) nên \(AHCE\) là hình bình hành.

Lại có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) nên hình bình hành \(AHCE\) là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật \(AHCE\) là hình vuông thì hai cạnh kề bằng nhau, tức \(HA = HC.\)

Mà \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(HB = HC = \frac{1}{2}BC.\)

Khi đó \[HA = HB = HC = \frac{1}{2}BC.\]

Xét \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AH\) thỏa mãn \[HA = \frac{1}{2}BC\] nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\)

Vậy \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) thì \(AHCE\) là hình vuông.

2)

Đặt các điểm \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D,{\rm{ }}E,{\rm{ }}M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\] như hình vẽ trên.

⦁ Xét \(\Delta AMC\) có \(E,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,MC\) (do \(EA = EC,PM = PC)\) nên \(EP\) là đường trung bình của \(\Delta AMC.\)

Do đó \(EP = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2} \cdot 2,7 = 1,35{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay \(x = 1,35{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

⦁ Ta có \(MB = MN + NB\) và \(MC = MP + PC\)

Mà \(MN = NB = MP = PC\) nên \(MB = MC.\)

Xét \(\Delta ABC\) có \(D,M\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC\) (do \(DB = DA,MB = MC)\) nên \(DM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)

Do đó \[DM = \frac{1}{2}AC\] (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra \(AC = 2DM = 2 \cdot 2,8 = 5,6{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).\) Hay \[y = 5,6{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).\]

Vậy độ dài của cây chống đứng bên và độ dài của của cánh kèo lần lượt là \(x = 1,35{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right);\) \(y = 5,6{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).\)