(0,5 điểm) Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện \(ab + bc + ca = 1.\) Chứng minh rằng biểu thức \(M = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)\) là bình phương của một số hữu tỉ.

Hướng dẫn giải

1. Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \[AHB\] vuông tại \[H\], ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\) hay \(H{B^2} = A{B^2} - A{H^2}\)

Suy ra \(H{B^2} = {5^2} - {3^2} = 25 - 9 = 16\).

Do đó \[HB = \sqrt {16} = 4\,\,({\rm{m)}}\]; \(CH = CB - HB = 10 - 4 = 6\,({\rm{m)}}\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \[AHC\] vuông tại \[H\], ta có:

\(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}\)

\(A{C^2} = {3^2} + {6^2} = 9 + 36 = 45\)

Suy ra \(AC = \sqrt {45} \approx 6,7\,\,{\rm{(m)}}\).

Vậy chiều dài đường trượt AC là \(6,7\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

2.

a) ⦁ Ta có \(DE = DM\) nên \(D\) là trung điểm của \(EM.\)

Xét tứ giác \(AEBM\) có \(D\) là trung điểm của hai đường chéo \(AB\) và \(EM\)

Do đó tứ giác \(AEBM\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường trung tuyến \(AM\) ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Vì \(AM\) là đường trung tuyến nên \(M\) là trung điểm của \(BC,\) do đó \(BM = CM = \frac{1}{2}BC.\)

Suy ra \(AM = BM = CM.\)

Hình bình hành \(AEBM\) có hai cạnh kề bằng nhau \(AM = BM\) nên là hình thoi.

⦁ Do \(AEBM\) hình thoi nên \(AE = BM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,BM.\)

Do đó \(AE = CM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,CM.\)

Tứ giác \(ACME\) có \(AE = CM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,CM\) nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do\(AEBM\) là hình thoi nên để \(AEBM\) là hình vuông thì \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(AM \bot BC.\)

Khi đó, \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AM\) đồng thời là đường cao nên sẽ là tam giác cân tại \(A.\)

Vậy để \(AEBM\) là hình vuông thì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\).

Hướng dẫn giải:

c) \(\frac{x}{{2x + 4}} - \frac{2}{{{x^2} + 2x}}\)\[ = \frac{x}{{2\left( {x + 2} \right)}} - \frac{2}{{x\left( {x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} - 4}}{{2x\left( {x + 2} \right)}}\]\[ = \frac{{(x + 2)(x - 2)}}{{2x(x + 2)}} = \frac{{x - 2}}{{2x}}\].