(1,5 điểm) Quan sát biểu đồ sau:

a) Biểu đồ trên là biểu đồ gì? Để thu được dữ liệu được biểu diễn ở biểu đồ trên, ta sử dụng phương pháp thu thập trực tiếp hay gián tiếp?

b) Lập bảng thống kê tương ứng cho dữ liệu trong biểu đồ trên. Nếu chọn một biểu đồ khác để biểu diễn dữ liệu đó, ta nên chọn loại biểu đồ gì?

c) Tìm ra một tháng trong sáu tháng cuối năm 2020 có sự gia tăng giá cà phê mạnh nhất so với cùng kì năm trước.

Hướng dẫn giải

1. Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \[AHB\] vuông tại \[H\], ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\) hay \(H{B^2} = A{B^2} - A{H^2}\)

Suy ra \(H{B^2} = {5^2} - {3^2} = 25 - 9 = 16\).

Do đó \[HB = \sqrt {16} = 4\,\,({\rm{m)}}\]; \(CH = CB - HB = 10 - 4 = 6\,({\rm{m)}}\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \[AHC\] vuông tại \[H\], ta có:

\(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}\)

\(A{C^2} = {3^2} + {6^2} = 9 + 36 = 45\)

Suy ra \(AC = \sqrt {45} \approx 6,7\,\,{\rm{(m)}}\).

Vậy chiều dài đường trượt AC là \(6,7\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\)

2.

a) ⦁ Ta có \(DE = DM\) nên \(D\) là trung điểm của \(EM.\)

Xét tứ giác \(AEBM\) có \(D\) là trung điểm của hai đường chéo \(AB\) và \(EM\)

Do đó tứ giác \(AEBM\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường trung tuyến \(AM\) ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Vì \(AM\) là đường trung tuyến nên \(M\) là trung điểm của \(BC,\) do đó \(BM = CM = \frac{1}{2}BC.\)

Suy ra \(AM = BM = CM.\)

Hình bình hành \(AEBM\) có hai cạnh kề bằng nhau \(AM = BM\) nên là hình thoi.

⦁ Do \(AEBM\) hình thoi nên \(AE = BM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,BM.\)

Do đó \(AE = CM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,CM.\)

Tứ giác \(ACME\) có \(AE = CM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,CM\) nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do\(AEBM\) là hình thoi nên để \(AEBM\) là hình vuông thì \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(AM \bot BC.\)

Khi đó, \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AM\) đồng thời là đường cao nên sẽ là tam giác cân tại \(A.\)

Vậy để \(AEBM\) là hình vuông thì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\).

Hướng dẫn giải

Từ \(ab + bc + ca = 1,\) ta có:

⦁ \({a^2} + 1 = {a^2} + ab + bc + ca = \left( {{a^2} + ab} \right) + \left( {bc + ca} \right)\)

\( = a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right);\)

⦁ \({b^2} + 1 = {b^2} + ab + bc + ca = \left( {{b^2} + ab} \right) + \left( {bc + ca} \right)\)

\( = b\left( {b + a} \right) + c\left( {a + b} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right);\)

⦁ \({c^2} + 1 = {c^2} + ab + bc + ca = \left( {{c^2} + bc} \right) + \left( {ab + ca} \right)\)

\[ = c\left( {c + b} \right) + a\left( {b + c} \right) = \left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right).\]

Khi đó \(M = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)\)

 \( = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\)

 \( = {\left( {a + b} \right)^2}{\left( {b + c} \right)^2}{\left( {c + a} \right)^2}\)

 \( = {\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)} \right]^2}\).

Vậy biểu thức \(M = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)\) là bình phương của một số hữu tỉ.