(1,5 điểm) Cho biểu thức \(N = \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}}.\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(N.\)

b) Rút gọn biểu thức \(N.\)

c) Tính giá trị của biểu thức \(N\) khi \(\left| x \right| = 2.\)

Hướng dẫn giải

a) Dãy số liệu về xếp hạng thế giới của bóng đá nam Việt Nam là dãy số liệu rời rạc.

Năm 2015, thứ hạng của đội tuyển bóng đá nam Thái Lan (hạng 145) cao hơn thứ hạng của đội tuyển bóng đá nam Việt Nam (hạng 149).

b) Trong 10 năm, thứ hạng cao nhất của đội tuyển bóng đá nam Việt Nam là hạng 94 thế giới, đạt được vào năm 2020 và năm 2023.

c) Các giá trị biểu diễn trên trục đứng của hai biểu đồ theo thứ tự ngược nhau. Dùng biểu diễn như Hình b thuận lợi hơn trong việc nhận ra xu thế của thứ hạng vì đường gấp khúc đi lên, biểu diễn cho việc tăng về thứ hạng (thứ hạng nhỏ đi).

Hướng dẫn giải

1.
a) Chiều cao của mỗi hình chóp tứ giác đều là \(30:2 = 15{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Thể tích của lồng đèn quả trám là: \(V = 2 \cdot \left( {\frac{1}{3} \cdot {{20}^2} \cdot 15} \right) = 4\,\,000{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Vậy thể tích của lòng đèn là \(4\,\,000{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}.\)

b) Một nửa lồng đèn được mô tả bởi hình chóp \(S.ABCD\) với các kích thước như hình vẽ.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\)

Do đó \(MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\)

Vì \(\Delta SBC\) cân tại \(S\) nên đường trung tuyến \(SM\) đồng thời là đường cao, do đó \(SM \bot BC\) nên \(\Delta SBM\) vuông tại \(M.\)

Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta SBM\) vuông tại \(M,\) ta có:

\(S{B^2} = S{M^2} + M{B^2}\)

Suy ra \(S{M^2} = S{B^2} - M{B^2} = {26^2} - {10^2} = 676 - 100 = 576.\)

Do đó \[SM = 24{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Diện tích xung quanh (diện tích 4 mặt bên) của hình chóp tứ giác đều là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 20} \right) \cdot 24 = 960{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích giấy mờ bạn Hà cần chuẩn bị để làm lồng đèn hình quả trám đó là:

\(S = 2{S_{xq}} = 2 \cdot 960 = 1\,\,920{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

2.

a) Ta có \(GF \bot AC\) và \(AB \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\) nên \(GF\,{\rm{//}}\,AB.\)

Xét tứ giác \(BEIF\) có

\(BE\,{\rm{//}}\,FI\) (do \(GF\,{\rm{//}}\,AB)\) và \(EI\,{\rm{//}}\,BF\)

Do đó, tứ giác \(BEIF\) là hình bình hành.

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AG\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AG = \frac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Mà \(G\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BG = CG = \frac{1}{2}BC\).

Do đó \(AG = BG = CG = \frac{1}{2}BC.\)

Suy ra \(\Delta ABG\) và \(\Delta ACG\) đều là tam giác cân tại \(G.\)

Xét \(\Delta ABG\) cân tại \(G\) có đường cao \(GE\) nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó \(E\) là trung điểm của \[AB\] nên \(BE = AE.\) (1)

Tương tự với \(\Delta ACG\) cân tại \(G\) ta cũng có \(GF\) vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \(F\) là trung điểm của \(AC.\)

Xét tứ giác \(AEGF\) có:

⦁ \(\widehat {EAF} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A);\)

⦁ \(\widehat {AEG} = 90^\circ \) (do \(GE \bot AB);\)

⦁ \(\widehat {AFG} = 90^\circ \) (do \(GF \bot AC)\).

Do đó tứ giác \(AEGF\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(AE = GF\) (2)

Mà \(BEIF\) là hình bình hành nên \(BE = FI\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(GF = FI\) hay \(F\) là trung điểm của \(GI.\)

Xét tứ giác \(AGCI\) có hai đường chéo \(GI\) và \(AC\) cắt nhau tại trung điểm \(F\) của mỗi đường nên tứ giác \(AGCI\) là hình bình hành.

Lại có \(GI\) vuông góc với \(AC\) nên hình bình hành \(AGCI\) là hình thoi.

Để \(AGCI\) là hình vuông thì \(GI = AC\).

Lại có \(AB = 2AE,\,\,GI = 2GF\) và \(AE = GF\)nên \(AB = GI\).

Khi đó ta sẽ có \(AB = AC\) hay \(\Delta ABC\) cân tại \(A.\)

Vậy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) thì \(AGCI\) là hình vuông.