(0,5 điểm) ) Cho \(a + b + c = 0\) và \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1.\) Tính giá trị của biểu thức:

\(A = {a^4} + {b^4} + {c^4}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\).

Suy ra \({0^2} = 1 + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\).

Do đó \(ab + bc + ca = - \frac{1}{2}.\)

Khi đó \(A = {a^4} + {b^4} + {c^4} = {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} - 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right)\)

\( = {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} - 2\left[ {{{\left( {ab} \right)}^2} + {{\left( {bc} \right)}^2} + {{\left( {ca} \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} - 2\left[ {{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2} - 2abc\left( {a + b + c} \right)} \right]\)

\( = {1^2} - 2\left[ {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} - 2abc \cdot 0} \right]\)

\( = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(A = \frac{1}{2}.\)