Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 5} - 3}}{{x - 2}} = \frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính \(a + b\).

Cho \(f\left( x \right)\) là đa thức thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 20}}{{x - 2}} = 10\). Tính \(T = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{6f\left( x \right) + 5}} - 5}}{{{x^2} + x - 6}}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Tìm giới hạn của các dãy số sau

a) \(\lim \frac{{{n^2} + 5n}}{{3{n^2} - 2n + 1}}\);          b) \(\lim \frac{{{3^n} - 2 \cdot {4^n}}}{{5 \cdot {4^n} + {3^n}}}\).

Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{a{x^2} + bx - 2}}{{x - 2}} = 5\). Tính giá trị biểu thức \(S = a + 2b\).

B. Tự luận

 Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 2}}\);                         b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \frac{{\sqrt {x - 3} - 2}}{{{x^2} - 49}}\];                  c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2\sqrt {5 - x} + \sqrt {7 - 3x} }}{{3{x^2} + 2x - 5}}.\)

Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^3+x+1\text{ khi }x\ge 1\\ 2x+4\text{ khi }x<1\end{array}\right.$ trên tập xác định của nó.

Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}}\;{\rm{khi}}\;x \ne 1\\m\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 1\) thì giá trị \(m\) bằng bao nhiêu?

Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}} - 1}}{{{x^2}}} = \frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản \(a \in \mathbb{Z},b \in {\mathbb{N}^*}\)). Tính giá trị của biểu thức \(S = {a^2} + b.\)