(1,0 điểm) Tỉ lệ phần trăm loại thức uống yêu thích của học sinh khối lớp 7 được biểu diễn trên biểu đồ sau:

a) Số học sinh yêu thích nước suối chiếm bao nhiêu phần trăm? Lập bảng thống kê biểu diễn tỉ lệ phần trăm loại thức uống yêu thích của học sinh khối lớp 7.

b) Dựa vào biểu đồ trên và bảng thống kê lập được ở câu a, hãy cho biết trong buổi liên hoan cuối năm khối lớp 7 nên mua những loại nước uống nào và mua loại nào nhiều nhất? Giải thích.

a) Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta ACK\) có:

\[AB = AC\] (do \[\Delta ABC\] cân tại \(A\));

\(AK\) là cạnh chung;

\(KB = KC\) (giả thiết).

Do đó \(\Delta ABK = \Delta ACK\) (c.c.c).

Suy ra \({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (hai góc tương ứng)

Từ đó ta có \(AK\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

b) Xét \(\Delta APK\) và \(\Delta AQK\) có:

\(\widehat {APK} = \widehat {AQK} = 90^\circ \);

\(AK\) là cạnh chung;

\({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (chứng minh câu a).

Do đó \(\Delta APK = \Delta AQK\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra \(PA = QA\) và \(PK = QK\) (các cặp cạnh tương ứng)

Từ đó ta có hai điểm \(A\) và \(K\) cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(PK\).

Vậy \(AK\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PQ\).

c) Vì \(AK\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(PQ\) (chứng minh câu b)

Nên \(AK \bot PQ\)        (1)

Ta có \(AB = AC\) (do \[\Delta ABC\] cân tại \(A\)) và \(KB = KC\) (giả thiết)

Do đó \(A\) và \(K\) cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Hay \(AK\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Suy ra \(AK \bot BC\)     (2)

Từ (1) và (2) ta có \(PQ\,{\rm{//}}\,BC\).

Ta có \({x^2} \ge 0\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Nên \({x^2} + 1 \ge 1\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \(\sqrt {{x^2} + 1} \ge \sqrt 1 = 1\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Khi đó \(2022\sqrt {{x^2} + 1} \ge 2022\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Do đó \(2022\sqrt {{x^2} + 1} + 2023 \ge 2022 + 2023 = 4045\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Hay \(A \ge 4045\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0\), tức \(x = 0.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) bằng 4045 khi \(x = 0.\)