Biết rằng nhà toán học Archimedes sinh năm 287 trước công nguyên và mất năm 212 trước công nguyên. Tuổi thọ của ông là bao nhiêu?

Gọi số học sinh khối 6 của trường đó là \(x\) (học sinh) \(\left( {x \in \mathbb{N},0 < x < 400} \right)\)

Vì khi xếp hàng 15, 20, 25 đều thiếu 1 người nên \(\left( {x + 1} \right) \vdots 15,\left( {x + 1} \right) \vdots 20,\left( {x + 1} \right) \vdots 25\)

Do đó \(\left( {x + 1} \right) \in BC\left( {15,20,25} \right)\)

Ta có: \(15 = 3.5;\,\,\,\,20 = {2^2}.5;\,\,\,25 = {5^2}\)

Suy ra \(BCNN\left( {15,20,25} \right) = {2^2}{.3.5^2} = 300\)

Khi đó \(\left( {x + 1} \right) \in BC\left( {15,20,25} \right) = B\left( {300} \right) = \left\{ {300;600;...} \right\}\) (do \(x + 1 > 0\))         

Nên \(x \in \left\{ {299;599;...} \right\}\)

Mà \(0 < x < 400\) nên \(x = 299\).

Vậy khối 6 của trường THCS đó có 299 học sinh.

Với mọi số nguyên \(n\) ta có: \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(2\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)   

Hay \(\left( {6n + 2} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

\(\left( {6n - 3 + 5} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

\(\left[ {3\left( {2n - 1} \right) + 5} \right] \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(5 \vdots \left( {2n - 1} \right)\) hay \(2n - 1 \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ { - 5; - 1;1;5} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Thử lại:

• Với \(n =  - 2\) ta có \(3n + 1 =  - 5\) và \(2n - 1 =  - 5\), do đó \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(n =  - 2\) thỏa mãn yêu cầu.

• Với \(n = 0\) ta có \(3n + 1 = 1\) và \(2n - 1 =  - 1\), do đó \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(n = 0\) thỏa mãn yêu cầu.

• Với \(n = 1\) ta có \(3n + 1 = 4\) và \(2n - 1 = 1\), do đó \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(n = 1\) thỏa mãn yêu cầu.

• Với \(n = 3\) ta có \(3n + 1 = 10\) và \(2n - 1 = 5\), do đó \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(n = 3\) thỏa mãn yêu cầu.

Vậy \(n \in \left\{ { - 2;0;1;3} \right\}\).