Một hình thoi và một hình lục giác đều có chu vi bằng nhau. Biết rằng độ dài cạnh của hình thoi bằng \(6\,\,{\rm{cm}}\), độ dài cạnh của hình lục giác đều bằng:

Gọi số học sinh khối 6 của trường đó là \(x\) (học sinh) \(\left( {x \in \mathbb{N},0 < x < 400} \right)\)

Vì khi xếp hàng 15, 20, 25 đều thiếu 1 người nên \(\left( {x + 1} \right) \vdots 15,\left( {x + 1} \right) \vdots 20,\left( {x + 1} \right) \vdots 25\)

Do đó \(\left( {x + 1} \right) \in BC\left( {15,20,25} \right)\)

Ta có: \(15 = 3.5;\,\,\,\,20 = {2^2}.5;\,\,\,25 = {5^2}\)

Suy ra \(BCNN\left( {15,20,25} \right) = {2^2}{.3.5^2} = 300\)

Khi đó \(\left( {x + 1} \right) \in BC\left( {15,20,25} \right) = B\left( {300} \right) = \left\{ {300;600;...} \right\}\) (do \(x + 1 > 0\))         

Nên \(x \in \left\{ {299;599;...} \right\}\)

Mà \(0 < x < 400\) nên \(x = 299\).

Vậy khối 6 của trường THCS đó có 299 học sinh.

Với mọi số nguyên \(n\) ta có: \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(2\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)   

Hay \(\left( {6n + 2} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

\(\left( {6n - 3 + 5} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

\(\left[ {3\left( {2n - 1} \right) + 5} \right] \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(5 \vdots \left( {2n - 1} \right)\) hay \(2n - 1 \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ { - 5; - 1;1;5} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Thử lại:

• Với \(n =  - 2\) ta có \(3n + 1 =  - 5\) và \(2n - 1 =  - 5\), do đó \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(n =  - 2\) thỏa mãn yêu cầu.

• Với \(n = 0\) ta có \(3n + 1 = 1\) và \(2n - 1 =  - 1\), do đó \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(n = 0\) thỏa mãn yêu cầu.

• Với \(n = 1\) ta có \(3n + 1 = 4\) và \(2n - 1 = 1\), do đó \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(n = 1\) thỏa mãn yêu cầu.

• Với \(n = 3\) ta có \(3n + 1 = 10\) và \(2n - 1 = 5\), do đó \(\left( {3n + 1} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\)

Suy ra \(n = 3\) thỏa mãn yêu cầu.

Vậy \(n \in \left\{ { - 2;0;1;3} \right\}\).