(1,5 điểm) Ba đội công nhân cùng chuyển một khối lượng gạch như nhau. Thời gian để đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba làm xong công việc lần lượt là \(2\) giờ, \(3\) giờ, \(4\) giờ. Tính số công nhân tham gia làm việc của mỗi đội, biết rằng số công nhân của đội thứ ba ít hơn số công nhân của đội thứ hai là \(5\) người và năng suất lao động của các công nhân là như nhau.

a) Học sinh vẽ lại hình theo đúng số đo các góc.

b) Ta có \(\widehat {CBn} = \widehat {BCp} = 140^\circ \)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Suy ra \(Bn\,{\rm{//}}\,Cp\) (dấu hiệu nhận biết)

Lại có \(Am\,{\rm{//}}\,Cp\) (giả thiết) nên \(Am\,{\rm{//}}\,Bn\).

c) Vì \(Am\,{\rm{//}}\,Bn\) nên \(\widehat {ABn} = \widehat {BAm} = 140^\circ \) (cặp góc so le trong).

Ta có \(\widehat {ABn} + \widehat {ABx} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {ABx} = 180^\circ - \widehat {ABn} = 40^\circ \).

Tương tự, ta được \(\widehat {CBx} = 40^\circ \).

Khi đó \(\widehat {ABx} = \widehat {CBx} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = 40^\circ \).

Vậy \(Bx\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\).

Ta có \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) suy ra \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\), do đó \(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{2{a^2}}}{{2{c^2}}} = \frac{{3{b^2}}}{{3{d^2}}} = \frac{{2{a^2} + 3{b^2}}}{{2{c^2} + 3{d^2}}}\)

Vậy \(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{2{a^2} + 3{b^2}}}{{2c{}^2 + \,{d^2}}}\).