Bác Minh cắt ngang một thân cây để làm mặt bàn (hình vẽ). Sau khi cắt xong, bác đo được bề dày của miếng ván là 20 cm. Sau khi kiểm tra thì bác phát hiện một mặt bị lõm một phần do gỗ bị rỗng ruột, khoảng cách từ điểm bị hỏng trên thân đến mặt bàn lớn bên dưới là 15 cm. Để làm đẹp mặt bàn thì bác quyết định cắt bỏ phần bị hỏng bằng một đường cưa song song với hai mặt bàn từ vị trí bị hỏng trên thân cây. Bác Minh lấy 2 vị trí A, B trên hai mặt bàn thì bác đo được AB=30 cm, đường cưa cắt đoạn thẳng AB tại M. Tìm độ dài đoạn MB.

 

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \,\,3} \frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{2x - 6}}\)=\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \,\,3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{2\left( {x - 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,\,3} \frac{{x - 4}}{2} = \frac{{ - 1}}{2}\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \,\,{{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,\,{{\left( { - 2} \right)}^ + }} \left( {{m^2}{x^2} + 5mx} \right) = 4{m^2} - 10m\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \,\,{{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \,\,{{\left( { - 2} \right)}^ - }} \left( {4 - x} \right) = 6\); \(f\left( { - 2} \right) = 6\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = - 2\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 10m = 6 \Leftrightarrow 4{m^2} - 10m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{ - 1}}{2}\\m = 3\end{array} \right.\).

a) Gọi N là trung điểm của CD

Ta có \(SC//MN\) ( Do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\) )

Vì G là trọng tâm của tam giác ACD nên \(N \in AG\)

Ta có \(MN \subset \left( {AMG} \right);\,\,\,SC \not\subset \left( {AMG} \right)\) nên \(SC//\left( {AMG} \right)\)

b)Trong (SAC) có \(AH \cap SO = P\)

Qua P vẽ đường thẳng song song với BD cắt SB và SD lần lượt tại I và K

Gọi Q là trung điểm của HC

Vì \(IP//BO\)nên \(\frac{{SB}}{{SI}} = \frac{{SO}}{{SP}}\,\,\,(1)\)

Mà \(OQ//AH\) nên \(\frac{{SO}}{{SP}} = \frac{{SQ}}{{SH}}\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{SB}}{{SI}} = \frac{{SQ}}{{SH}}\,\,\,\)

Ta có \(\frac{{2SB}}{{SI}} - \frac{{SC}}{{SH}}\,\,\, = \frac{{2SQ}}{{SH}} - \frac{{SC}}{{SH}} = \frac{{2SQ - \left( {SQ + QC} \right)}}{{SH}} = \frac{{SQ - HQ}}{{SH}} = \frac{{SH}}{{SH}} = 1\)

Khi đó \(\frac{{2SB}}{{SI}} - \frac{{SC}}{{SH}} = 1 \Leftrightarrow 2SB.SH - SC.SI = SI.SH \Leftrightarrow 2SB.SH = SC.SI + SI.SH\).