(0,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\) và \(SC\). Điểm \(P\) trên cạnh \(SB\) sao cho \(\frac{{SP}}{{SB}} = \frac{2}{3}\). Gọi \(Q\) là giao điểm của cạnh \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\). Tính tỷ số \(\frac{{SQ}}{{SD}}\).

Chọn D

Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha  < 0\).

\(\sin \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{4}{5}} \right)}^2}}  =  - \frac{3}{5}\).

\(\tan \left( {\alpha  - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha  - 1}}{{1 + \tan \alpha }} = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 1}}{{1 + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}\)\( = \frac{{\frac{3}{4} - 1}}{{1 + \frac{3}{4}}} =  - \frac{1}{7}\).

Xét ba mặt phẳng phân biệt: \(\left( {MCD} \right),\left( {ABCD} \right),\left( {SAB} \right)\).

Mà ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt là:

\(\left( {MCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD;\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = AB;\left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN\).

Trong đó \[AB\,{\rm{//}}\,CD\], theo định lý về ba đường giao tuyến ta có \[AB\,{\rm{//}}\,CD\,{\rm{//}}\,MN\].

Trong tam giác \[SAB\] từ \[M\] kẻ đường thẳng song song với \[AB\] cắt \[SB\] tại \[N\].

Vậy \[N\] là điểm cần tìm.