Tìm giá trị của a để hàm số $\left\{\begin{array}{l}\frac{a x^2 - (a-2)x - 2}{x^3+ 3 x^2 - 4} khi x > 1\\ \frac{x}{9} khi x\le 1\end{array}\right.$  liên tục tại x = 1.

 

Ta có : \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{a{x^2} - \left( {a - 2} \right)x - 2}}{{{x^3} + 3{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(ax + 2)(x - 1)}}{{(x - 1){{(x + 2)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(ax + 2)}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{a + 2}}{9}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{x}{9} = \frac{1}{9} = f(1)\]

 Để hàm số liên tục tại \[x = 1\]thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = f(1) \Leftrightarrow \frac{{a + 2}}{9} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow a = - 1\]

Vậy \(a = - 1\) thì hàm số liên tục tại \[x = 1\]