Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với đáy lớn \(AB,\,AB = 3CD\). Gọi \[I, J,\,K\]lần lượt là trung điểm \(SA,\,SB,BC.\)

a) Tìm giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right).\)

b) Chứng minh \[IJ\parallel \left( {SCD} \right)\].

c) Lấy \(M\) là điểm nằm giữa \(S,J\); \(N\) là điểm nằm trên cạnh \(AB\) sao cho\(AN = 2NB\). Xác định giao điểm của \(ID\) và mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\).

a) Tìm giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right).\)

\[S \in (SAC) \cap (SBD)\,\,(1)\]

\[\begin{array}{l}Trong\,(ABCD)\,:AC \cap \,BD = O\\\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \Rightarrow O \in (SAC)\\O \in BD \Rightarrow O \in (SBD)\end{array} \right. \Rightarrow O \in (SAC) \cap (SBD)\,\,(2)\end{array}\]

Từ \[\,(1),\,(2)\,\] \[ \Rightarrow (SAC) \cap (SBD) = SO\].

b) Chứng minh \[IJ\parallel \left( {SCD} \right)\].

 Ta có\[\,IJ \not\subset (SCD)\,(3)\]

        \(CD \subset (SCD)\,(4)\)

Mà\[{\rm{ }}IJ\parallel AB\,\,\](\[IJ\,\]là đường trung bình của \[\Delta SAB\]),\[CD\parallel AB\,\,\]( giả thiết ) \[ \Rightarrow IJ\parallel CD\,(5)\]

Từ \[\,(3),\,(4)\,,(5)\] \[ \Rightarrow IJ{\rm{//}}(SCD)\].

c) Xác định giao điểm của \(ID\) và mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\).

*\[Trong\,\left( {SAB} \right)\,:SA \cap \,MN = H \Rightarrow H \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNK} \right)\,\,(6)\]

Lấy \[P\,\]là trung điểm\[AN\].

\[{\rm{ + }}KN\parallel CP\,\,\](\[KN\]là đường trung bình của \[\Delta BCP\] ) ,\[CP\parallel AD\,\,\]( \[APCD\] là hình bình hành vì có cặp cạnh đối \[AP\] và \[CD\]song song và bằng nhau ) \[ \Rightarrow KN\parallel AD\,(7)\]

+\[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{KN}} \subset \left( {KMN} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right.(8)\]

Từ \[(\,6),(7),(8)\] \[ \Rightarrow \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNK} \right) = d(d\,\,qua\,H,d{\rm{//}}AD,{\rm{//}}KN)\]

\[\begin{array}{l} + DI \subset \left( {SAD} \right)\\ + \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNK} \right)\, = d\\ + DI \cap d = Q\\\left\{ \begin{array}{l}Q \in DI\\Q \in d \subset \left( {MNK} \right) \Rightarrow Q \in \left( {MNK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow DI \cap \left( {MNK} \right) = Q\end{array}\]