Bạn Nam thực hiện trang trí một bức tường của lớp học bằng cách vẽ lên bức tường đó \[n\] đường tròn đồng tâm \[O\] với \(n \in \mathbb{N}*\). Biết rằng đường tròn thứ nhất \[\left( {O;\,{r_1}} \right)\] có đường kính bằng \[4\left( {cm} \right)\], mỗi đường tròn sau có chu vi bằng 2 lần chu vi của đường tròn kề ngay trước đó và chu vi đường tròn thứ \[n\] gấp 256 lần chu vi đường tròn thứ nhất. Tính bán kính của đường tròn thứ \[n - 2\].

Gọi \[{r_n}\] là bán kính đường tròn thứ \[n\] với \(n \in \mathbb{N}*\).

Theo giả thiết ta có \[{r_1}\,\, = \frac{4}{2} = 2\,\left( {cm} \right)\]

Mỗi đường tròn sau có chu vi bằng 2 lần chu vi của đường tròn kề ngay trước đó

nên : \[2\pi {r_2} = 2.\left( {2\pi {r_1}} \right);\,2\pi {r_3} = 2.\left( {2\pi {r_2}} \right);\,\,...,\,\,2\pi {r_n} = 2.\left( {2\pi {r_{n - 1}}} \right)\].

Hay: \[{r_2} = 2{r_1};\,\,\,{r_3} = 2{r_2};\,\,...,\,{r_n} = 2{r_{n - 1}}\]

Vậy dãy số \[{r_1};\,{r_2},\,...{r_{n - 1;\,}}{r_n}\] lập thành cấp số nhân với số hạng đầu \[{r_1} = 2\], công bội \[q = 2\]

Chu vi đường tròn thứ \[n\] gấp 256 lần chu vi đường tròn thứ nhất nên

\[2\pi {r_n} = 256\left( {2\pi {r_1}} \right) \Leftrightarrow {r_n} = 256.{r_1}\] \[ \Leftrightarrow {r_1}.{q^{n - 1}} = 256.{r_1}\] \[ \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 256\] \[ \Leftrightarrow n = 9\]

Vậy bán kính đường tròn thứ \[n - 2\] là bán kính đường tròn thứ 7 và \[{r_7} = {r_1}.{q^6} = {2.2^6} = 128\left( {cm} \right)\].