Đầu mùa thu hoạch ổi ở Khánh Thành, ông A đã thu được \(x\) quả ổi. Ông A đã bán cho người thứ nhất nửa số ổi thu hoạch được và tặng thêm 1 quả, bán cho người thứ hai nửa số ổi còn lại và tặng thêm 1 quả. Ông cứ tiếp tục cách bán như trên đến người thứ chín thì số ổi của ông được bán hết. Số ổi mà ông A thu hoạch được là

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 3\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {5f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]\) bằng

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\) ta thu được kết quả là

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) (tham khảo hình vẽ sau).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt các cạnh \(AA',\,BB',\,CC',\,DD'\) lần lượt tại \(M,\,N,\,P,\,Q\). Tứ giác \(MNPQ\) là hình gì?

Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm ứng với nửa khoảng nào dưới đây?

Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\)có tứ giác \(ABCD\) là hình thang đáy \(AB,\,CD\) thỏa mãn \(AB = 2CD\). Trên các cạnh \(AA',BB',\,CC'\) lần lượt lấy các điểm \(M,N,K\) sao cho \(MA = MA';\,NB = 2NB';\,,KC = 3KC'\).

a) Chứng minh rằng \(\left( {ABB'A'} \right)\,\,{\rm{//}}\,\,\left( {CDD'C'} \right)\). Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\) với \(\left( {CDD'C'{\kern 1pt} } \right)\).

b) Gọi \(H\) là giao điểm mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\) với \(DD'\). Tính tỉ số \(\frac{{HD}}{{HD'}}\).