a) Tính \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + n + 1}}{{{n^2} + 2n + 3}}.\]

b) Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{{x^2} + 3x - 10}}.\]

c) Một đơn vị sản xuất hàng thủ công ước tính chi phí để sản xuất \[x\] đơn vị sản phẩm là\[C\left( x \right) = 2x + 50\] (triệu đồng). Với \[f\left( x \right)\] là hàm số biểu thị chi phí trung bình để sản suất mỗi đơn vị sản phẩm. Hãy tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)\] và cho biết ý nghĩa của nó.

a) \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + n + 1}}{{{n^2} + 2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2 + 1/n + 1/{n^2}}}{{1 + 2/n + 3/{n^2}}} = 2\]

b) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{{x^2} + 3x - 10}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}} = \frac{1}{{28}}\]

c)

Ta có \[f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{2x + 50}}{x}\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 50}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + 50/x}}{1} = 2\]

Ý nghĩa: Khi số lượng sản phẩm được sản xuất ra càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm càng gần với 2 (triệu đồng)