a) Cho hình vuông \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a\). Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\)(Hình vẽ).

Từ hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông \({C_1}\),\({C_2}\), \({C_3}\),., \({C_n}\)... Gọi \({S_i}\) là diện tích của hình vuông \({C_i}\left( {i \in \left\{ {1,2,3...} \right\}} \right)\). Đặt \(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\). Biết \(T = \frac{{32}}{3}\), tính \(a\)?

b) Đầu năm \(2022\) thầy Thu mua một chiếc ô tô \(5\) chỗ giá \(700\) triệu đồng để đi làm .

Trung bình sau mỗi tháng sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi \(0,4{\rm{\% }}\) (so với tháng trước đó). Biết rằng mỗi tháng thầy làm ra được \(18\) triệu đồng (số tiền làm ra mỗi tháng không đổi). Hỏi sau \(3\) năm tổng số tiền (bao gồm giá tiền xe ô tô và tổng số tiền thầy Thu làm ra) thầy Thu có được là bao nhiêu?

a) Ta có:

\({s_1} = {a^2}\), Cạnh của hình vuông $C\left(2\right)$ là: $a_2 = \sqrt{{\left(\frac{3}{4}a\right)}^2+ {\left(\frac{1}{4}a\right)}^2} = \frac{\sqrt[a]{10}}{4}$ .

Do đó diện tích $S_2=\frac{5}{8} a^2 = \frac{5}{8} S_1$  .

Cạnh của hình vuông (C3) là:

Do đó diện tích

Tương tự ta có :\({s_1},{s_2},...,{s_n},...\)Lập thành csn lùi vô hạn có số hạng đầu là :\({s_1} = {a^2}\), công bội \(q = \frac{5}{8}\)

Vậy: \(T = {s_1} + {s_2} + {s_3} + ... + {s_n} + ... = \frac{{{s_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{8{a^2}}}{3} = \frac{{32}}{3} \Leftrightarrow a = 2\)
b) Sau \(1\) tháng giá trị của ô tô còn lại là:

\[{u_1}\; = {\rm{ 7}}00{\rm{ }}--{\rm{ 7}}00.0,4\% {\rm{ }} = {\rm{ 7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right){\rm{ }}\](triệu đồng).

Sau \(2\) tháng giá trị của ô tô còn lại là:

\[{u_2}\; = {\rm{ 7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right){\rm{ }}--{\rm{ 7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right).0,4\% {\rm{ }} = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^2}\;\] (triệu đồng).

Sau \(3\) tháng giá trị của ô tô còn lại là:

\[{u_3}\; = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^2}{\rm{ }}--{\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^2}.0,4\% {\rm{ }} = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^3}\;\](triệu đồng).

Gọi \({u_n}\) là giá trị của ô tô sau \(n\) tháng sử dụng.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là\[{u_1}\; = {\rm{7}}00.\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right){\rm{ }}\]triệu đồng và công bội \[q = 1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% {\rm{ }}\].

Khi đó công thức tổng quát để tính \[{u_n}\; = {\rm{7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^n}{\rm{ }}\].

Sau \(3\) năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là:\[{u_{36}}\; = {\rm{ 7}}00.{\left( {1{\rm{ }}--{\rm{ 0,}}4\% } \right)^{36}}\; \approx {\rm{ 605,95}}\] (triệu đồng).

Sau \(3\) năm thầy Thu làm ra \(18.36 = 648\) (triệu đồng).

Sau \(3\) năm tổng số tiền (bao gồm giá tiền xe ô tô và tổng số tiền thầy Thu làm ra) thầy Thu có được là \(648 + 605,95 = 1253,95\)(triệu đồng).