Cho dãy số \(({u_n})\) như sau: \({u_1} = - 3\) và \({u_{n + 1}} = 5{u_n} + 3,\forall n = 1,2, \ldots \). Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

Đặt \({u_n} = {x_n} - \frac{3}{4},\forall n = 1,2, \ldots \) Khi đó \({u_{n + 1}} = {x_{n + 1}} - \frac{3}{4}\).

Thay vào giả thiết ta được

\({x_{n + 1}} - \frac{3}{4} = 5\left( {{x_n} - \frac{3}{4}} \right) + 3,\forall n = 1,2, \ldots \)

\( \Leftrightarrow {x_{n + 1}} = 5{x_n},\forall n = 1,2, \ldots \)

Vậy \(({x_n})\) là cấp số nhân có cộng bội \(q = 5\), số hạng đầu

\({x_1} = {u_1} + \frac{3}{4} = - 3 + \frac{3}{4} = - \frac{9}{4}.\)$

Do đó \({x_n} = {x_1}{q^{n - 1}} = - \frac{9}{4}{.5^{n - 1}},\forall n = 1,2, \ldots \)

Suy ra \({u_n} = - \frac{3}{4} - \frac{9}{4}{.5^{n - 1}},\forall n = 1,2, \ldots \)