Câu hỏi:

01/12/2025 3

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] $\left( {AB < AC} \right)$. Vẽ \[AH \bot BC\] $\left( {H \in BC} \right).$ Lấy điểm \[D\] thuộc tia đối của tia \[HA\] sao cho \[HD = HA\].

a) Chứng minh \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\] và tia \[BC\] là tia phân giác của $\widehat {ABD}$.

b) Qua \[D\] vẽ đường thẳng song song với \[AB\], cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng \[AD\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[BM\].

c) Vẽ đường thẳng \[CN\] vuông góc với đường thẳng \[AM\] \[\left( {N \in AM} \right)\]. Chứng minh ba điểm \[C,{\rm{ }}N,{\rm{ }}D\] thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập Giữa kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta DBH$ có:

\[\widehat {AHB} = \widehat {DHB} = 90^\circ \];

$BH$ là cạnh chung;

$AH = DH$ (giả thiết).

Do đó \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\] (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat {ABH} = \widehat {DBH}$ (hai góc tương ứng)

Từ đó ta có $BC$ là tia phân giác của $\widehat {ABD}$.

$Cho tam giác \[ABC\] vuông (ảnh 1)$

b) Do \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\] (chứng minh câu a)

Nên $\widehat {BAH} = \widehat {BDH}$ (hai góc tương ứng)

Lại có $DM\,{\rm{//}}\,BA$ (giả thiết) nên $\widehat {BAH} = \widehat {MDH}$ (hai góc so le trong)

Do đó $\widehat {BDH} = \widehat {MDH}$

Xét $\Delta BDH$ và \[\Delta MDH\] có:

$\widehat {BHD} = \widehat {MHD} = 90^\circ $;

$DH$ là cạnh chung;

$\widehat {BDH} = \widehat {MDH}$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta BDH = \Delta MDH$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra $BH = MH$ (hai cạnh tương ứng)

Hay $H$ là trung điểm của $BM$.

Ta có $AD \bot BM$ tại trung điểm $H$ của đoạn thẳng $BM$ nên \[AD\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[BM\].

c) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DBC$ có:

$AB = DB$ (do \[\Delta BAH{\rm{ = }}\Delta BDH\]);

$\widehat {ABC} = \widehat {DBC}$ (chứng minh câu a);

$BC$ là cạnh chung

Do đó $\Delta ABC = \Delta DBC$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = 90^\circ $ (hai góc tương ứng) hay $CD \bot BD\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)$

Xét $\Delta AHM$ và $\Delta DHB$ có:

$\widehat {AHM} = \widehat {DHB} = 90^\circ $;

$AH = DH$ (giả thiết);

$BH = MH$ (chứng minh câu b)

Do đó $\Delta AHM = \Delta DHB$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat {HAM} = \widehat {HDB}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AN\,{\rm{//}}\,BD\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $CD \bot AN$.

Mặt khác $CN \bot AN$ (giả thiết)

Từ đó suy ra hai đường thẳng $CD$ và $CN$ trùng nhau hay ba điểm $C,\,\,N,\,\,D$ thẳng hàng.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $ABC$ có góc \[A\] tù. Trên cạnh \[AB\] lấy điểm \[D\].

a) So sánh các đoạn thẳng $CA,\,\,CD$ và \[CB\].

b) Trên cạnh \[AC\] lấy điểm \[E\]. So sánh \[DE\] và \[BC\].

Xem đáp án

Lời giải

a) Vì \[\Delta ACD\] có $\widehat A$ tù nên $\widehat A$ là góc lớn nhất trong ba góc nên \[CD\] là cạnh lớn nhất trong ba cạnh (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất).

Do đó \[CD > CA\] (1)

Ta có: $\widehat {BDC} > \widehat A$ (do $\widehat {BDC}$ là góc ngoài của \[\Delta ACD\])

Do đó $\widehat {BDC}$ tù.

$Cho tam giác $ABC$ có góc \[A\] tù. Trên cạnh \[AB\] lấy điểm \[D\]. a) So sánh các đoạn thẳng $CA,\,\,CD$ và \[CB\]. b) Trên cạnh \[AC\] lấy điểm \[E\]. So sánh \[DE\] và \[BC\]. (ảnh 1)$

Vì \[\Delta BDC\] có $\widehat {BDC}$ tù nên $\widehat {BDC}$ là góc lớn nhất trong ba góc.

Nên đó \[BC\] là cạnh lớn nhất trong ba cạnh (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất).

Do đó \[CB > CD\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[CB > CD > CA\].

b) Ta có: $\widehat {DEC} > \widehat A$ (do $\widehat {DEC}$ là góc ngoài của tam giác \[AED\]).

Suy ra $\widehat {DEC}$ tù.

Vì \[\Delta DEC\] có $\widehat {DEC}$ tù nên $\widehat {DEC}$ là góc lớn nhất trong ba góc.

Nên \[DC\] là cạnh lớn nhất trong ba cạnh (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất).

Do đó \[DC > DE\].

Mà \[CB > CD\] (theo câu a) nên \[CB > DE\].

Do đó \[DE < BC\].

Câu 2

Cho tam giác $ABC$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MA = MD$. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABM = \Delta DCM$;

b) $AB\,{\rm{//}}\,CD$;

c) $AM < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$ có

$MA = MD$ (giả thiết)

$MB = MC$ (vì \[M\] là trung điểm)

$\widehat {ABM} = \widehat {CMD}$ (đối đỉnh)

Do đó $\Delta ABM = \Delta DCM$ (c.g.c)

b) Từ câu a: $\Delta ABM = \Delta DCM$.

Suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {MDC}$.

Nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ (hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

$Cho tam giác $ABC$, gọi $M$ là (ảnh 1)$

c) Xét bất đẳng thức trong tam giác \[ACD\] có $AD < AC + CD$.

Từ $\Delta ABM = \Delta DCM$ suy ra $AB = CD$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó $AD < AC + AB$ nên $\frac{{AD}}{2} < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Vậy $AM < \frac{{AB + AC}}{2}$.

Câu 3