Cho tam giác \(ABC\) có góc \[A\] tù. Trên cạnh \[AB\] lấy điểm \[D\].

a) So sánh các đoạn thẳng \(CA,\,\,CD\) và \[CB\].

b) Trên cạnh \[AC\] lấy điểm \[E\]. So sánh \[DE\] và \[BC\].

Hướng dẫn giải

c) Xét bất đẳng thức trong tam giác \[ACD\] có \(AD < AC + CD\).

Từ \(\Delta ABM = \Delta DCM\) suy ra \(AB = CD\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó \(AD < AC + AB\) nên \(\frac{{AD}}{2} < \frac{{AB + AC}}{2}\).

Vậy \(AM < \frac{{AB + AC}}{2}\).

a) Chứng minh \(\Delta BDF = \Delta EDC\).

Vì \(AD\) là phân giác \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\).

Xét \(\Delta ADF\) và \(\Delta ADC\) có:

\(AF = AC\,;\,\,\widehat {FAD} = \widehat {CAD}\,;\,\,AD\) chung.

Do đó \(\Delta ADF = \Delta ADC\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AFD} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng) và \(FD = CD\) (hai cạnh tương ứng)

Vì \(AF = AC\,;\,\,AB = AE\) suy ra \(BF = EC\)

Xét tam giác \(BDF\) và tam giác \(EDC\) có:

\(BF = EC\,;\,\,\,\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\,;\,\,\,FD = CD\).

Do đó \(\Delta BDF = \Delta EDC\) (c.g.c)

b) Theo câu a) \(\Delta BDF = \Delta EDC\) suy ra \(\widehat {BDF} = \widehat {ECD}\).

Mà \(\widehat {BDE} + \widehat {EDC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên\(\widehat {BDE} + \widehat {FDB} = 180^\circ \), do đó \(\widehat {FDE} = 180^\circ \).

Suy ra ba điểm \(F,\,D,\,E\) thẳng hàng.

c) Gọi \(G,\,H\) theo thứ tự là giao điểm của \(AD\) và \(BE,\,CF\).

Xét tam giác \(ABG\) và \(AEG\) có:

\(AB = AE\,;\,\,\widehat {BAG} = \widehat {EAG}\,;\,\,AG\) chung.

Suy ra \(\Delta ABG = \Delta AEG\) (c.g.c)

Do đó, \(\widehat {AGB} = \widehat {AGE}\) (hai góc tương ứng) và \(GB = GE\) (hai cạnh tương ứng) (1)

Mà \(\widehat {AGB} + \widehat {AGE} = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {AGB} = \widehat {AGE} = 90^\circ \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\) là đường trung trực \(BE\).

Chứng minh tương tự ta có \(AD\) là đường trung trực \(CF\).