Tổng độ dài các cạnh của một hình lập phương là 7,2 cm. Tính diện tích toàn phần của hình lập phương đó.

\(A = \frac{{2024}}{{2025}} + \frac{{2025}}{{2026}} + \frac{{2026}}{{2024}}\)

\( = \left( {1 - \frac{1}{{2025}}} \right) + \left( {1 - \frac{1}{{2026}}} \right) + \left( {1 + \frac{2}{{2024}}} \right)\)

\( = 3 + \left( {\frac{2}{{2024}} - \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}} \right)\)

Ta thấy:

      \(\frac{2}{{2024}} > \frac{1}{{2025}} + \frac{1}{{2026}} \Rightarrow \left( {\frac{2}{{2024}} - \frac{1}{{2025}} - \frac{1}{{2026}}} \right) > 0\)

Suy ra \(A > 3\)

Với \(B = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{{15}}\)

Nhóm như sau:

       \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} < \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1\)

  \(\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} < 6 \times \frac{1}{6} = 1\)

      \(\frac{1}{{12}} + \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{15}} < 4 \times \frac{1}{{12}} < \frac{1}{3}\)

Vậy:

                  \(B < \frac{1}{2} + 1 + 1 + \frac{1}{3} = 2.833 \ldots < 3\)

Kết luận:

                                       \(A > 3 > B \Rightarrow A > B\)

a) Vì tam giác AMC và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ C và cạnh đáy AM = \(\frac{2}{3}\) AB nên \({S_{AMC}} = \frac{2}{3}{S_{ABC}} = \frac{2}{3} \times 600 = 400{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2})\)

b) Vì \(N\) là trung điểm AC nên AN = NC, và \(AM = \frac{2}{3}AB\), ta có:

\({S_{ABN}} = {S_{BNC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\) (Chung chiều cao hạ từ đỉnh B và đáy AN = NC)

\({S_{AMN}} = \frac{2}{3}{S_{ABN}}\)(Chung chiều cao hạ từ N và đáy \(AM = \frac{2}{3}AB\))

Suy ra \({S_{AMN}} = \frac{2}{3}{S_{BNC}}\)

c) \({S_{ABN}} = {S_{BNC}}\) nên chiều cao hạ từ \(A\) đến \(BN\) bằng chiều cao hạ từ \(C\) đến \(BN\)

\( \Rightarrow {S_{ABI}} = {S_{BIC}}\) (chung đáy \(BI\), và chiều cao hạ từ A xuống BN = chiều cao hạ từ C xuống BN) (1)

Ta có \({S_{BMC}} = \frac{1}{2}{S_{AMC}}\) (chung chiều cao hạ từ C và đáy BM = \(\frac{1}{2}\) AM)

Suy ra chiều cao hạ từ B xuống MC bằng \(\frac{1}{2}\) chiều cao hạ từ A xuống MC) (2)

Ta có \({S_{AIN}} = \frac{1}{2}{S_{AIC}}\) ( chung chiều cao hạ từ I và đáy AN = \(\frac{1}{2}\) AC) (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra \({S_{ABI}} = {S_{AIN}}\)

Vậy \(BI = IN\) , do đó I là trung điểm của \(BN\)