Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Điểm \(M\) là trung điểm của \(SA\), \(N\) thuộc cạnh \(CD\) thỏa mãn \(CN = 2ND\).

a) Ta có \(S,O\) là hai điểm chung của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) nên \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

b) Ta có \(M,O\) là trung điểm của \(SA\) và \(AC\) nên \(MO//SC\) mà \(SC \subset \left( {SCD} \right)\) nên \(MO//\left( {SCD} \right)\).

c) Ta có \(\left. \begin{array}{l}BC//AD\\BC \subset \left( {BCM} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\M \in \left( {BCM} \right) \cap \left( {SAD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \) giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua \(M\) và song song với \(AD\).

d) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi E là giao điểm của \(AN\) và \(BD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAN} \right)\), gọi I là giao điểm của \(SE\) và \(MN\) mà \(SE \subset \left( {SBD} \right)\)\( \Rightarrow I = MN \cap \left( {SBD} \right)\).

Xét \(\Delta END\) có \(DN//AB\) nên \(\frac{{EN}}{{EA}} = \frac{{DN}}{{AB}} = \frac{{DN}}{{DC}} = \frac{1}{3}\).

Áp dụng định lí Menelaus cho \(\Delta AMN\), có \(\frac{{NE}}{{EA}} \cdot \frac{{AS}}{{AM}} \cdot \frac{{MI}}{{IN}} = 1\)\( \Rightarrow \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{{MI}}{{IN}} = 1\)\( \Rightarrow \frac{{MI}}{{IN}} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2MI = 3IN.\)

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.