Cho biểu thức \(A = \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} - \frac{{18}}{{9 - {x^2}}}.\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \[A.\]

b) Rút gọn biểu thức \(A.\)

c) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = - 1.\)

d) Tìm giá trị của \(x\) để \(A = - 4.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(1 - {x^2} = - \left( {{x^2} - 1} \right) = - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\1 - {x^2} \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\ - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\end{array} \right.,\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right..\)

Vậy để \(B\) xác định thì \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1.\)

b) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) ta có:

\(B = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{{1 - {x^2}}}\)\( = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

  \( = \frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \frac{4}{{x + 1}}\).

Vậy với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

c) Với \(x = - \frac{1}{2}\) thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức \(B = \frac{4}{{x + 1}},\) ta được:

\(B = \frac{4}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \frac{4}{{\frac{1}{2}}} = 8.\)

Vậy với \(x = - \frac{1}{2}\) thì \(B = 8.\)

d) Với \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) thì \(B = \frac{4}{{x + 1}}.\)

Với \(x\) là số nguyên, để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 1\) là ước của \(4.\)

Mà Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Do đó: \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,3} \right\}.\)

Mà \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\) nên \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

Vậy để \(B\) nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

⦁ \({x^2} - 2x = x\left( {x - 2} \right).\)

⦁ \[\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4 - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}.\]

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(D\) là \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x - 2 \ne 0\\\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} \ne 0\end{array} \right.,\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 2\\\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \ne 0\end{array} \right.,\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..\]

Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[D = \left( {\frac{{x - 4}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}}} \right)\]

\[ = \left[ {\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x - 4} \right) + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - 4}} = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\]

Vậy với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) thì \(D = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.\)

b) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có: \(D > 0\) khi \(\frac{{ - 3x + 4}}{4} > 0,\) do đó \( - 3x + 4 > 0\) vì \(4 > 0.\)

Suy ra \(3x < 4,\) nên \(x < \frac{4}{3}.\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta được \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0.\)

Vậy với \(x < \frac{4}{3}\) và \(x \ne 0\) thì \(D > 0.\)

c) Để \(D\) là số nguyên âm lớn nhất thì \(D = - 1,\) khi đó:

\(\frac{{ - 3x + 4}}{4} = - 1\)

\( - 3x + 4 = - 4\)

\( - 3x = - 8\)

\(x = \frac{8}{3}\) (thoả mãn điều kiện).

Vậy với \(x = \frac{8}{3}\) thì \(D\) có giá trị là số nguyên âm lớn nhất.