Cho biểu thức \(A = \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} - \frac{{18}}{{9 - {x^2}}}.\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \[A.\]

b) Rút gọn biểu thức \(A.\)

c) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = - 1.\)

d) Tìm giá trị của \(x\) để \(A = - 4.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[{x^2} + x - 6 = {x^2} - 2x + 3x - 6 = x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right).\]

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(C\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ne 0\\{x^2} + x - 6 \ne 0\\2 - x \ne 0\end{array} \right.,\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right.,\) tức là \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2.\)

Vậy biểu thức \(C\) xác định khi \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2.\)

b) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[C = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}\]\[ = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{1}{{x - 2}}\]

\[ = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - 5 - 1\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]\[ = \frac{{{x^2} - 4 - 5 - x - 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} - x - 12}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.\]

Vậy \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) thì \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.\]

c) Ta có: \[{x^2} - 9 = 0\]

\[\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]

\[x = 3\] (thoả mãn điều kiện) hoặc \[x = - 3\] (không thỏa mãn điều kiện)

Thay \[x = 3\] vào biểu thức \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}},\] ta được: \[C = \frac{{3 - 4}}{{3 - 2}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1.\]

Vậy \[C = - 1\] khi \[{x^2} - 9 = 0.\]

d) Với \(x \ne - 3\) và \(x \ne 2,\) ta có: \[C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 - 2}}{{x - 2}} = 1 - \frac{2}{{x - 2}}.\]

Với \(x\) là số nguyên, để \[C\] cũng có giá trị nguyên thì \[x - 2\] là ước của \(2.\)

Mà Ư\(\left( 2 \right) = \left\{ { - 1;\,\,1;\,\, - 2;\,\,2} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Theo bài, \(C\) có giá trị là số nguyên dương lớn nhất nên \(C = 3.\)

Vậy \(x = 1\) thì \(C\) đạt giá trị nguyên dương lớn nhất là \(C = 3.\)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(M\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.,\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.,\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..\)

Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có:

\[M = \frac{1}{{{x^2} - 2x}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - \frac{{4x}}{x}} \right) + 1\]

\[ = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + 4 - 4x}}{x} + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{x} + 1\]

\[ = \frac{{x - 2}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.\]

Vậy với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) thì \(M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.\)

b) Ta có \[\left| {4 - x} \right| = 2\]

Thay \[x = 6\] vào biểu thức \(M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}},\) ta được:

\[M = \frac{{{6^2} + 6 - 2}}{{{6^2}}} = \frac{{36 + 6 - 2}}{{36}} = \frac{{10}}{9}.\]

Vậy \(M = \frac{{10}}{9}\) khi \[\left| {4 - x} \right| = 2.\]

c) Với \(x \ne 0\) và \(x \ne 2,\) ta có \[M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}.\]

Đặt \[\frac{1}{x} = t\,\,\,\left( {t \ne 0;\,\,t \ne \frac{1}{2}} \right),\] khi đó:

\[M = 1 + t - 2{t^2} = - 2\left( {{t^2} - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}} \right) = - 2\left( {{t^2} - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{{16}}} \right)\]

\[ = - 2\left[ {{{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)}^2} - \frac{9}{{16}}} \right] = \frac{9}{8} - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2}.\]

Vì \[{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0\] nên \[ - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \le 0,\] do đó \[P \le \frac{9}{8}.\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi \[t - \frac{1}{4} = 0,\] tức là \[t = \frac{1}{4}\] (thoả mãn).

Với \(t = \frac{1}{4},\) ta có \[\frac{1}{x} = \frac{1}{4},\] suy ra \[x = 4.\]

Vậy giá trị lớn nhất của \[M\] là \[\frac{9}{8}\] khi \[x = 4.\]