Câu hỏi:

04/12/2025 6

Cho tam giác $ABC,$ các điểm $H,\,\,G,\,\,O$ lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực của tam giác $ABC.$ Gọi $M,\,\,N$ theo thứ tự là trung điểm của $BC$ và $AC.$ Chứng minh:

a) $Δ O M N ∽ Δ H A B .$

b) $Δ G O M ∽ Δ G H A .$

c) Ba điểm $O,\,\,G,\,\,H$ thẳng hàng và $GH = 2OG.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tam giác \(ABC,\ (ảnh 1)$

a) Vì $O$ là giao điểm ba đường trung trực nên $OM \bot AB.$

Lại có $AH \bot BC$ $(H$ là trực tâm) nên $AH\,{\rm{//}}\,OM.$

Tương tự, $BH\,{\rm{//}}\,ON.$

Do đó $\widehat {MON} = \widehat {AHB}$ (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét tam giác \[BAC\] có $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AC.$

Do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN\,{\rm{//}}\,AB,$ $MN = \frac{1}{2}AB.$

Suy ra $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$ (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét $\Delta OMN$ và $\Delta HAB$ có:

$\widehat {MON} = \widehat {AHB}$ và $\widehat {OMN} = \widehat {HAB}$

Do đó $Δ O M N ∽ Δ H A B$ (g.g).

b) Vì $Δ O M N ∽ Δ H A B$ (câu a) nên \[\frac{{OM}}{{HA}} = \frac{{NO}}{{HB}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{2}\] (tỉ số cạnh tương ứng) $\left( 1 \right)$

Vì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC,$ $AM$ là trung tuyến nên $\frac{{AG}}{{GM}} = 2,$ hay $\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{1}{2}$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)$ suy ra $\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}.$

Xét $\Delta GOM$ và $\Delta GHA$ có:

$\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}$ và $\widehat {OMG} = \widehat {HAG}$ (so le trong của $AH\,{\rm{//}}\,OM)$

Do đó $Δ G O M ∽ Δ G H A$ (c.g.c).

c) Vì $Δ G O M ∽ Δ G H A$ (câu b) nên $\widehat {OGM} = \widehat {HGA}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {HGM} + \widehat {HGA} = 180^\circ $ (kề bù) nên \[\widehat {HGM} + \widehat {OGM} = 180^\circ .\]

Do đó 3 điểm $O;\,\,G;\,\,H$ thẳng hàng.

Mặt khác, nên $\frac{{GO}}{{GH}} = \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{2},$ suy ra $GH = 2GO.$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, các đường cao $AD,$ $BE$ cắt nhau tại $H.$

a) Chứng minh: $Δ A D C ∽ Δ B E C .$

b) Chứng minh: \[HE \cdot HB = HA \cdot HD.\]

c) Gọi $F$ là giao điểm của $CH$ và $AB.$ Chứng minh: \[AF \cdot AB = AH \cdot AD.\]

d) Chứng minh: $\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ADC$ và $\Delta BEC$ có:

$\widehat {ADC} = \widehat {BEC} = 90^\circ $ và $\widehat {ACB}$ là góc chung.

Do đó $Δ A D C ∽ Δ B E C$ (g.g).

b) Xét $\Delta HEA$ và $\Delta HDB$ có:

$\widehat {HEA} = \widehat {HDB} = 90^\circ $ và $\widehat {AHE} = \widehat {BHD}$ (đối đỉnh)

Do đó $Δ H E A ∽ Δ H D B$ (g.g).

$Khi đó \(\frac{{ (ảnh 1)$

Suy ra $\frac{{HE}}{{HD}} = \frac{{HA}}{{HB}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $HE \cdot HB = HA \cdot HD.$

c) Vì $H$ là giao điểm của hai đường cao $AD,\,\,BE$ của tam giác $ABC$ nên $H$ là trực tâm của tam giác, nên $CH \bot AB,$ hay $\widehat {AFC} = 90^\circ .$

Xét $\Delta AFH$ và $\Delta ADB$ có:

$\widehat {AFH} = \widehat {ADB} = 90^\circ $ và $\widehat {DAB}$ là góc chung

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $AF \cdot AB = AD \cdot AH.$

d) Ta có $\frac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HD \cdot BC}}{{\frac{1}{2}AD \cdot BC}} = \frac{{HD}}{{AD}}.$

Tương tự: $\frac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HE}}{{BE}};$ $\frac{{{S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HF}}{{CF}}.$

Khi đó $\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}}$\[ = \frac{{{S_{\Delta AHB}} + {S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta CHA}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 1.\]

Câu 2

Cho góc $xAy.$ Trên tia $Ax$ lấy hai điểm $B$ và $C$ sao cho $AB = 8\;{\rm{cm,}}$ $AC = 15\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$ Trên tia $Ay$ lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $AD = 10\;{\rm{cm,}}$ $AE = 12\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

a) Chứng minh $Δ A B E ∽ Δ A D C .$

b) Chứng minh $AB \cdot DC = AD \cdot BE,$ sau đó tính $DC$ biết $BE = 10\;{\rm{cm}}{\rm{.}}$

c) Gọi $I$ là giao điểm của $BE$ và $CD.$ Chứng minh rằng $IB \cdot IE = ID \cdot IC.$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADC$ có:

$\widehat {BAE}$ là góc chung;

\[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\,\,\left( {\frac{8}{{10}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}} \right).\]

Do đó $Δ A B E ∽ Δ A D C$ (c.g.c).

b) Vì $Δ A B E ∽ Δ A D C$ (câu a) nên $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BE}}{{DC}}$

Suy ra $AB \cdot DC = AD \cdot BE.$

Do đó $DC = \frac{{AD \cdot BE}}{{AB}} = \frac{{10 \cdot 10}}{8} = 12,5{\rm{\;cm}}.$

$Cho góc $xAy.$ Trên tia $Ax$ l (ảnh 1)$

c) Vì $Δ A B E ∽ Δ A D C$ (câu a) nên $\widehat {AEB} = \widehat {ACD}$ (hai góc tương ứng).

Xét $\Delta CBI$ và $\Delta EDI$ có:

$\widehat {BCI} = \widehat {DEI}$ (do $\widehat {AEB} = \widehat {ACD})$ và $\widehat {BIC} = \widehat {DIE}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó $Δ C B I ∽ Δ E D I$ (g.g).

Suy ra $\frac{{IC}}{{IE}} = \frac{{IB}}{{ID}}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên \[IB \cdot IE = ID \cdot IC.\]

Câu 3