Cho tam giác \(ABC,\) các điểm \(H,\,\,G,\,\,O\) lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực của tam giác \(ABC.\) Gọi \(M,\,\,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC\) và \(AC.\) Chứng minh:
a)
b)
c) Ba điểm \(O,\,\,G,\,\,H\) thẳng hàng và \(GH = 2OG.\)
Cho tam giác \(ABC,\) các điểm \(H,\,\,G,\,\,O\) lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực của tam giác \(ABC.\) Gọi \(M,\,\,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC\) và \(AC.\) Chứng minh:
a)
b)
c) Ba điểm \(O,\,\,G,\,\,H\) thẳng hàng và \(GH = 2OG.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì \(O\) là giao điểm ba đường trung trực nên \(OM \bot AB.\)
Lại có \(AH \bot BC\) \((H\) là trực tâm) nên \(AH\,{\rm{//}}\,OM.\)
Tương tự, \(BH\,{\rm{//}}\,ON.\)
Do đó \(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)
Xét tam giác \[BAC\] có \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AC.\)
Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,AB,\) \(MN = \frac{1}{2}AB.\)
Suy ra \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)
Xét \(\Delta OMN\) và \(\Delta HAB\) có:
\(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) và \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\)
Do đó (g.g).
b) Vì (câu a) nên \[\frac{{OM}}{{HA}} = \frac{{NO}}{{HB}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{2}\] (tỉ số cạnh tương ứng) \(\left( 1 \right)\)
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC,\) \(AM\) là trung tuyến nên \(\frac{{AG}}{{GM}} = 2,\) hay \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{1}{2}\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}.\)
Xét \(\Delta GOM\) và \(\Delta GHA\) có:
\(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}\) và \(\widehat {OMG} = \widehat {HAG}\) (so le trong của \(AH\,{\rm{//}}\,OM)\)
Do đó (c.g.c).
c) Vì (câu b) nên \(\widehat {OGM} = \widehat {HGA}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat {HGM} + \widehat {HGA} = 180^\circ \) (kề bù) nên \[\widehat {HGM} + \widehat {OGM} = 180^\circ .\]
Do đó 3 điểm \(O;\,\,G;\,\,H\) thẳng hàng.
Mặt khác, nên \(\frac{{GO}}{{GH}} = \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{2},\) suy ra \(GH = 2GO.\)
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
|
a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) và \(AD\,{\rm{//}}\,BC.\) Xét \(\Delta ADK\) có \(AD\,{\rm{//}}\,CN\) (do \(AD\,{\rm{//}}\,BC)\) nên (g.g). b) Xét \(\Delta KAM\) có \(AM\,{\rm{//}}\,CD\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) nên (g.g). Suy ra \(\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{KA}}{{KC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng). |
|
Mà (câu a) nên \(\frac{{KD}}{{KN}} = \frac{{AK}}{{CK}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).
Suy ra \(\frac{{KD}}{{KN}} = \frac{{KM}}{{KD}}\) nên \(K{D^2} = KM \cdot KN.\)
c) Do nên \(\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{AD}}{{CN}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).
Do nên \(\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{AM}}{{CD}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).
Suy ra \(\frac{{AD}}{{CN}} = \frac{{AM}}{{CD}}\) hay \(\frac{9}{{CN}} = \frac{6}{{10}},\) do đó \(CN = \frac{{9 \cdot 10}}{6} = 15\) (cm).
Lời giải
Hướng dẫn giải
|
a) Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BEC\) có: \(\widehat {ADC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACB}\) là góc chung. Do đó (g.g). b) Xét \(\Delta HEA\) và \(\Delta HDB\) có: \(\widehat {HEA} = \widehat {HDB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AHE} = \widehat {BHD}\) (đối đỉnh) Do đó (g.g). |
|
Suy ra \(\frac{{HE}}{{HD}} = \frac{{HA}}{{HB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(HE \cdot HB = HA \cdot HD.\)
c) Vì \(H\) là giao điểm của hai đường cao \(AD,\,\,BE\) của tam giác \(ABC\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác, nên \(CH \bot AB,\) hay \(\widehat {AFC} = 90^\circ .\)
Xét \(\Delta AFH\) và \(\Delta ADB\) có:
\(\widehat {AFH} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) và \(\widehat {DAB}\) là góc chung
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(AF \cdot AB = AD \cdot AH.\)
d) Ta có \(\frac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HD \cdot BC}}{{\frac{1}{2}AD \cdot BC}} = \frac{{HD}}{{AD}}.\)
Tương tự: \(\frac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HE}}{{BE}};\) \(\frac{{{S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HF}}{{CF}}.\)
Khi đó \(\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}}\)\[ = \frac{{{S_{\Delta AHB}} + {S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta CHA}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 1.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập