Cho tam giác \(ABC,\) các điểm \(H,\,\,G,\,\,O\) lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực của tam giác \(ABC.\) Gọi \(M,\,\,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC\) và \(AC.\) Chứng minh:
a)
b)
c) Ba điểm \(O,\,\,G,\,\,H\) thẳng hàng và \(GH = 2OG.\)
Cho tam giác \(ABC,\) các điểm \(H,\,\,G,\,\,O\) lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực của tam giác \(ABC.\) Gọi \(M,\,\,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC\) và \(AC.\) Chứng minh:
a)
b)
c) Ba điểm \(O,\,\,G,\,\,H\) thẳng hàng và \(GH = 2OG.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì \(O\) là giao điểm ba đường trung trực nên \(OM \bot AB.\)
Lại có \(AH \bot BC\) \((H\) là trực tâm) nên \(AH\,{\rm{//}}\,OM.\)
Tương tự, \(BH\,{\rm{//}}\,ON.\)
Do đó \(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)
Xét tam giác \[BAC\] có \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AC.\)
Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,AB,\) \(MN = \frac{1}{2}AB.\)
Suy ra \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)
Xét \(\Delta OMN\) và \(\Delta HAB\) có:
\(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) và \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\)
Do đó (g.g).
b) Vì (câu a) nên \[\frac{{OM}}{{HA}} = \frac{{NO}}{{HB}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{2}\] (tỉ số cạnh tương ứng) \(\left( 1 \right)\)
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC,\) \(AM\) là trung tuyến nên \(\frac{{AG}}{{GM}} = 2,\) hay \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{1}{2}\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}.\)
Xét \(\Delta GOM\) và \(\Delta GHA\) có:
\(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}\) và \(\widehat {OMG} = \widehat {HAG}\) (so le trong của \(AH\,{\rm{//}}\,OM)\)
Do đó (c.g.c).
c) Vì (câu b) nên \(\widehat {OGM} = \widehat {HGA}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat {HGM} + \widehat {HGA} = 180^\circ \) (kề bù) nên \[\widehat {HGM} + \widehat {OGM} = 180^\circ .\]
Do đó 3 điểm \(O;\,\,G;\,\,H\) thẳng hàng.
Mặt khác, nên \(\frac{{GO}}{{GH}} = \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{2},\) suy ra \(GH = 2GO.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
|
a) Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BEC\) có: \(\widehat {ADC} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACB}\) là góc chung. Do đó (g.g). b) Xét \(\Delta HEA\) và \(\Delta HDB\) có: \(\widehat {HEA} = \widehat {HDB} = 90^\circ \) và \(\widehat {AHE} = \widehat {BHD}\) (đối đỉnh) Do đó (g.g). |
|
Suy ra \(\frac{{HE}}{{HD}} = \frac{{HA}}{{HB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(HE \cdot HB = HA \cdot HD.\)
c) Vì \(H\) là giao điểm của hai đường cao \(AD,\,\,BE\) của tam giác \(ABC\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác, nên \(CH \bot AB,\) hay \(\widehat {AFC} = 90^\circ .\)
Xét \(\Delta AFH\) và \(\Delta ADB\) có:
\(\widehat {AFH} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) và \(\widehat {DAB}\) là góc chung
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \(AF \cdot AB = AD \cdot AH.\)
d) Ta có \(\frac{{{S_{\Delta BHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}HD \cdot BC}}{{\frac{1}{2}AD \cdot BC}} = \frac{{HD}}{{AD}}.\)
Tương tự: \(\frac{{{S_{\Delta AHC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HE}}{{BE}};\) \(\frac{{{S_{\Delta AHB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{HF}}{{CF}}.\)
Khi đó \(\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}}\)\[ = \frac{{{S_{\Delta AHB}} + {S_{\Delta BHC}} + {S_{\Delta CHA}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 1.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
|
a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ADC\) có: \(\widehat {BAE}\) là góc chung; \[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\,\,\left( {\frac{8}{{10}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}} \right).\] Do đó (c.g.c). b) Vì (câu a) nên \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BE}}{{DC}}\) Suy ra \(AB \cdot DC = AD \cdot BE.\) Do đó \(DC = \frac{{AD \cdot BE}}{{AB}} = \frac{{10 \cdot 10}}{8} = 12,5{\rm{\;cm}}.\) |
|
c) Vì (câu a) nên \(\widehat {AEB} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng).
Xét \(\Delta CBI\) và \(\Delta EDI\) có:
\(\widehat {BCI} = \widehat {DEI}\) (do \(\widehat {AEB} = \widehat {ACD})\) và \(\widehat {BIC} = \widehat {DIE}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac{{IC}}{{IE}} = \frac{{IB}}{{ID}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \[IB \cdot IE = ID \cdot IC.\]
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập