(1,5 điểm) Cho biểu thức: \[P = \,\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - \,{x^3}}}.\frac{{{x^2} + \,x\, + \,1}}{{x\, + 1}}} \right)\,:\,\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}}.\]

a) Tìm điều kiện xác định của \[P.\]

b) Rút gọn biểu thức \[P.\]

c) Tính giá trị của \[P\] khi \[x = \,\frac{1}{2}.\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(1 - {x^3} = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)\)

\[\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}} = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\]

Khi đó biểu thức \(P\) xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\1 - {x^3} \ne 0\\x + 1 \ne 0\\\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}} \ne 0\end{array} \right.\)nên \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\1 - x \ne 0\\1 + x + {x^2} \ne 0\\x \ne  - 1\\2x\, + \,\,1 \ne 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 1\\x \ne  - \frac{1}{2}.\end{array} \right.\)

Vậy với \(x \ne 1\,;\,\,x \ne  - 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2}\) thì biểu thức \(P\) xác định.

b) Với \(x \ne 1\,;\,\,x \ne  - 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2},\) ta có:

\[P = \,\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{1 - \,{x^3}}}.\frac{{{x^2} + \,x\, + \,1}}{{x\, + 1}}} \right)\,:\,\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{x^{2\,}} + 2x\, + \,1}}\]

\[ = \,\left[ {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}.\frac{{{x^2} + \,x\, + \,1}}{{x\, + 1}}} \right]\,:\,\frac{{2x\, + \,\,1}}{{{{\left( {x\, + 1} \right)}^2}}}\]

\[ = \,\left[ {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {x\, + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x\, + 1} \right)}^2}}}{{2x\, + \,\,1}}\]

\[ = \,\left[ {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x\, + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x\, + 1} \right)}^2}}}{{2x\, + \,\,1}}\]

\[ = \,\frac{{\left( {x\, + 1} \right) + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x\, + 1} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x\, + 1} \right)}^2}}}{{2x\, + \,\,1}}\]

\[ = \,\frac{{\left( {2x + 1} \right) \cdot {{\left( {x\, + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x\, + 1} \right) \cdot \left( {2x\, + \,\,1} \right)}}\]\[ = \,\frac{{x\, + 1}}{{x - 1}}.\]

Vậy với \(x \ne 1;x \ne  - 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2}\) thì \(P = \,\frac{{x\, + 1}}{{x - 1}}.\)

c) Thay \[x = \,\frac{1}{2}\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P = \,\frac{{x\, + 1}}{{x - 1}},\) ta được: \(P = \,\frac{{\frac{1}{2}\, + 1}}{{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 3.\)

Vậy \(P = 3\) khi \[x = \,\frac{1}{2}.\]