Một hình chóp đều và một hình lăng trụ đứng có diện tích đáy bằng nhau. Chiều cao của hình chóp đều gấp đôi chiều cao của hình lăng trụ đứng. Thể tích của hình chóp đều là

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

\({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\) với mọi \(x.\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0\) hay \(x - 2 \ne 0,\) \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 1 \ne 0\), tức là \(x \ne 2,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne 2,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1.\)

b) Với \(x \ne 2,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1,\) ta có:

\[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\]

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)

\[ = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\]

Vậy với \(x \ne 2,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1,\) thì \(A = \frac{1}{{x - 2}}.\)

c) Ta có \(\left| {x + 3} \right| = 1\) suy ra \(x + 3 = 1\) hoặc \(x + 3 =  - 1\)

Do đó \(x =  - 2\) (không thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x =  - 4\) (thỏa mãn điều kiện)

Thay \(x =  - 4\) vào biểu thức \(A = \frac{1}{{x - 2}},\) ta được: \(A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} =  - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(A =  - \frac{1}{6}\) khi \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)

Hướng dẫn giải

c) \(2{x^2} - x - 6 = 0\)

\(2{x^2} - 4x + 3x - 6 = 0\)

\(2x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0\)

Suy ra \(x - 2 = 0\) hoặc \(2x + 3 = 0\)

\(x = 2\) hoặc \(2x =  - 3\)

\(x = 2\) hoặc \(x =  - \frac{3}{2}.\)

Vậy \(x \in \left\{ {2; - \frac{3}{2}} \right\}.\)