Trong mặt phẳng \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 5;8;1} \right)\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 5;8;1} \right)\) có phương trình là:

\( - 5\left( {x - 1} \right) + 8\left( {y - 2} \right) + \left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5x - 8y - z + 8 = 0\).

b) Thay tọa độ điểm \(A(1;1;5)\) vào phương trình mặt phẳng \((P)\), ta được

\(5.1 - 8.1 - 5 + 8 = 0\) đúng. Vậy điểm \(A \in \left( P \right)\).

c) Ta có \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {5.1 - 8.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right) + 8} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {8^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{30}}{{3\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \).

d) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là \[5x - 8y - z = 0\].