Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;0;0} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y - 1 = 0\) có dạng \( - x + by + cz + d = 0\). Tính \(b + c - 3d\).

Trả lời: 27

Ta có \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + {C_1}\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\{x^3} + 4x + {C_2}\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\).

Vì \(F\left( 0 \right) = 2\) nên \(F\left( 0 \right) = {0^3} + 4.0 + {C_2} = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\).

Vì \(F\left( x \right)\) liên tục nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow 6 + {C_1} = 7 \Rightarrow {C_1} = 1\).

Do đó \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + 1\;\;{\rm{khi}}\;x \ge 1\\{x^3} + 4x + 2\;{\rm{khi}}\;x < 1\end{array} \right.\).

Ta có \(F\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) + 2 = - 3;F\left( 2 \right) = {2^2} + 5.2 + 1 = 15\).

Do đó \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = - 3 + 2.15 = 27\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(A\left( {30;0} \right),B\left( {0;20} \right)\).

Khi đó, parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh là \(B\left( {0;20} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {30;0} \right)\) nên \(\left( P \right)\) có phương trình là \(y = - \frac{1}{{45}}{x^2} + 20\).

Khi đó tổng diện tích các phần parabol là \(4\int\limits_0^{30} {\left( { - \frac{1}{{45}}{x^2} + 20} \right)dx} = 1600\) (m²).

Vậy diện tích phần sân chơi là \(60.80 - 1600 = 3200\) (m²).