Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( { - 1;0;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z = 0\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)\).

Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta thấy không thỏa mãn. Do đó \(A \notin \left( P \right)\).

b) Ta có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 0 - 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2\).

c) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(2x + y - 2z + d = 0\left( {d \ne 0} \right)\).

Vì \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( { - 1;0;2} \right)\) nên \(2.\left( { - 1} \right) + 0 - 2.2 + d = 0 \Leftrightarrow d = 6\)(thỏa mãn).

Vậy \(\left( Q \right):2x + y - 2z + 6 = 0\).

d) Có \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;0;2} \right),\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 2;2; - 1} \right) = - \left( {2; - 2;1} \right)\).

Vậy mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O, điểm \(A\) và vuông góc \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {2; - 2;1} \right).\)