Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là \(AB = 8{\rm{m}}\). Người ta treo một tâm phông hình chữ nhật có hai đỉnh \(M,N\) nằm trên Parabol và hai đỉnh \(P,Q\)nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phân không tô đen) người ta mua hoa để trang trí, biết \(MN = 4{\rm{m}}\), \(MQ = 6{\rm{m}}\). Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa (phân không tô đen) là bao nhiêu mét vuông? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Có \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)^\prime } = {x^2}\).

b) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(f\left(x\right)+1\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+1\right)dx={\left.\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\right|}_0^2=\frac{14}{3}$

c) \(\int\limits_{2024}^a {{f^2}\left( x \right)dx} = \int\limits_{2024}^a {{x^4}dx} = \left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|_{2024}^a = \frac{{{a^5}}}{5} - \frac{{{{2024}^5}}}{5} = 0 \Rightarrow a = 2024\).

Do đó \(2a - 1 = 4047\).

d) Ta có \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {{x^2}dx} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 = \frac{8}{3}\).

Trả lời: 0,75

Ta có \(F\left( x \right) = \int {\sin 2xdx} = - \frac{1}{2}\cos 2x + C\).

Vì \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1\) nên \( - \frac{1}{2}\cos \frac{\pi }{2} + C = 1 \Rightarrow C = 1\).

Do đó \(F\left( x \right) = - \frac{1}{2}\cos 2x + 1\).

Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}\cos \frac{\pi }{3} + 1 = \frac{3}{4} = 0,75\).